带非光滑核的奇异积分算子交换子的加权有界性估计

吴翠兰， 王云杰， 束立生

(1.江苏师范大学 数学与统计学院,江苏 徐州 221116；2.江苏师范大学 科文学院,江苏 徐州 221116；3.安徽师范大学 数学与统计学院,安徽 芜湖 241003)

1 引言及主要结果

对1

其中f为具有紧支集的连续函数,且x∉suppf。若K(x,y)满足

及

称K(x,y)满足Hörmander条件。

核函数K(x,y)满足Hörmander条件的奇异积分算子和交换子的有界性得到了广泛的研究,并取得了许多结果,见文[1]等。1999年,Duong等[2]在核函数满足更弱的条件下证明了具有非光滑核的奇异积分算子T在Lp(1

Duong和Mcintosh在文[2]中引入了具有非光滑核的奇异积分算子,定义如下:

定义1.1设at(x,y)(t>0)是定义在属于Rn×Rn上的可测函数,At是以at(x,y)为核函数的算子。如果对任意的f∈Lp(Rn),1p<,

(1)

且对于(x,y)∈Rn×Rn,t>0,有

|at(x,y)|ht(x,y)

(2)

其中g是正的有界递减函数且满足

(3)

这里ε>0,称算子族{At:t>0}为恒等逼近。

若K满足下列条件:

(i)存在一恒等逼近{Bt:t>0},使得TBt具有相关的核函数kt(x,y),且存在C1,C2>0,使得对所有的y∈Rn,有

(ii)存在一恒等逼近{At:t>0},使得AtT具有相关的核函数Kt(x,y)满足

|K(x,y)-Kt(x,y)|

在文[2]中,Duong和Mcintosh证明了如果选取合适的恒等逼近,条件(i)和(ii)比添加给Calderón-Zygumd算子一些常见的条件(如Hömander条件)弱。同时,作者还证明了如果算子T满足(i),则算子T不仅是弱(1)型的,而且还是强(p,p)(1p2)的。此外,若算子T满足(i)和(ii),则算子T是强(p,p)(1

1985年,Bloom在文[7]中得到经典的奇异积分算子的交换子定理:

定理A设1

2008年,Hu和Gu在文[8]中研究了Calderón-Zygumd奇异积分算子T的加权Lipschtiz估计。

定理B设T是Calderón-Zygumd奇异积分算子,μ∈A1,1/q=1/p-β/n,0<β<1,1

2012年,陈晓莉等在[9]中研究了具有非光滑核的奇异积分算子交换子的加权BMO估计,结论如下:

定理C设算子T是具有非光滑核的奇异积分算子,μ,v∈Ap,1

||[b,T]f||Lp(ν)C||b||*,ω||f||Lp(μ)。

受以上研究的启发,本文将文献[2]中结果推广到加权情形,讨论具有非光滑核的奇异积分算子交换子的加权估计。我们的结论是:……