环Fq+uFq+vFq+uvFq上的斜常循环码

陈法龙， 宋贤梅

(安徽师范大学 数学与统计学院,安徽 芜湖 241003)

有限环上的循环码理论,由于其有丰富的代数结构以及容易译码的特点,而受到众多编码工作者的青睐。但是其研究的环均是交换环,在文[1]中,Boucher等人引入了非交换环Fq[x;θ]上的循环码,举例说明在同样参数下斜循环码的汉明距离大于已知最好的线性码。随后,他们又研究了Galois环上的斜常循环码[2]。在文[3]中,Jitman等人研究了有限链环上的斜常循环码,得到了一些有意义的结果。

最近,有限非链环上的斜循环码也有了一定的研究进展。在文[4]中,Gursoy等人用不同的方法构造出环Fq+vFq(v2=v)上的斜循环码。随后,施敏加等人从更广的角度给出了有限非链环Fq+vFq+v2Fq(v3=v)[5]以及环Fq+uFq+vFq+uvFq(u2=u,v2=v,uv=vu)上的斜循环码[6]。

本文受文献[3]与[6]的启发,讨论了非链环Fq+uFq+vFq+uvFq上的斜常循环码,给出了该环上斜常循环码的结构和性质,讨论了|〈θ〉|=2时其厄米特对偶码生成多项式的形式。

1 预备知识

对环R上的自同构θ,形式多项式集合R[x;θ]={c0+c1x+…+cn-1xn-1|ci∈R,i=1,2,…,n-1,n≥1}构成一个非交换环,其加法运算为多项式的一般加法,乘法运算定义为(axi)(bxj)=aθi(b)xi+j,(a,b∈R)。

设Rn={(a0,…,an-1)|ai∈R,i=0,1,…,n-1}。若C是Rn的非空子集,称C是长为n的码,若C是Rn的R-子模,称C是长为n的线性码,它的多项式定义为{c0+c1x+…+cn-1xn-1|(c0,…,cn-1)∈C}。

设C是R上长为n的线性码,我们定义

设x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈Rn,定义x与y的厄米特内积为〈x,y〉H=x1θ(y1)+x2θ(y2)+…+xnθ(yn)。

码C的厄米特对偶码定义为C⊥H={x∈Rn|〈x,y〉H=0,∀c∈C},若码C满足C=C⊥H,则称C是厄米特自对偶。

2 环R上的斜常循环码

定义2.1设θ是R上的自同构,λ是R的单位。ρθ,λ是Rn上的自同态且满足

ρθ,λ((c0,c1,…,cn-1))=(θ(λcn-1),θ(c0),…,θ(cn-2)),

则称ρθ,λ是θ-λ-常循环移位。设C是R上长为n的线性码,若对任意的c=(c0,c1,…,cn-1)∈C,有ρθ,λ(c)∈C,称码C为斜常循环码或θ-λ-常循环码。

证明……