带有多点边值的分数阶微分包含解的Filippov型存在性定理

杨丹丹

(淮阴师范学院 数学科学学院,江苏 淮安市 223300)

1 引言和引理

分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广,在物理学、人口动力学、经济、流体力学、生物数学、医药学等研究领域,有着广泛的应用。有关分数阶微分和积分的基本概念、计算和应用,已有两本专著[12,13]。近年,分数阶微分方程解的存在性研究受到越来越多的数学工作者的广泛关注[5,8,9,14]。2016年,Houas和Dahmani在参考文献[8]中研究了带有多点边值条件的分数阶微分方程:

(1)

其中1<α2,0

最近,分数阶微分包含有很多结果发表。例如,Ahmad、Ntouyas[2],Henderson、Ntouyas、Etemad[10],杨[15]。据笔者所知,现有文献中,有关分数阶微分包含解的Filippov型存在性定理结果并不多见[3,11],为了弥补这方面的不足,受上述参考文献启发,本文将给出如下带有多点边值条件的分数阶微分包含(2)解的Filippov型存在性定理：

Dαy(t)∈F(t,y(t)),t∈[0,T],T>0,

(2)

其中1<α2,0

我们假设读者熟知分数阶微分方程理论[12,13]}和多值映射理论[1,7,10]。为方便起见,给出证明主要结果所用的一些定义、记号和引理。

定义1([13]) 函数u:(0,)→R,α-分数阶Caputo导数定义为

n=[α]+1,假设等式右侧在(0，)上逐点有定义。

对于赋范空间(X,||.||),令Pcp(X)={Y∈Ρ(X):Y是紧的},Ρcp,c(X)={Y∈Ρ(X):Y是紧凸的}。对于每个y∈C([0,T],R)y∈C([0,1],R),定义F的选择集合为SF,y:={v∈L1([0,T],·):v(t)∈F(t,y(t))a.e.t∈[0,T]}。

令(X,d)是由赋范空间(X,||.||)引进的度量空间。考虑Hd:Ρ(X)×Ρ(X)→R∪{}定义如下：

显然,Ρcl(X,Hd)是一个广义度连量空间[9]。

为了证明主要结果,需要以下两个引理。

引理2([7]) 令E是一个可分的度量空间,G是一个有非空闭值的多值映射,则G存在一个可测选择。

引理3([11]) 令G:[0,b]→Pcl(R)是一个可测的多值函数,u:[0,b]→R是一个可测函数。假设存在p∈L1(J,R)使得G(t)⊆p(t)B(0,1),其中B(0,1)表示在R中的一个闭球。

则存在G的一个可测选择g,使得……