浅谈微分中值定理在证明中的应用

李娜

摘 要 本文结合几道有关中值定理方面的典型例题，针对学生在学习中的难点进行详细的分析，从三个方面进行总结和归纳。

关键词 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 构造法

中图分类号：O172.1 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.02.025

Application of Differential Mean Value Theorem in Proof

LI Na

（Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）

Abstract In this paper， some typical examples of the mean value theorem are discussed， and the difficulties in learning are analyzed in detail and summarized from three aspects.

Keywords differential mean value theorem； rolle's theorem； lagrange's mean value theorem； cauchy mean value theorem； construction method

在“高等数学”这门课中，微分中值定理是微分学部分应用的基础，是用微分法研究函数性态的重要工具，是从研究函数的局部性质到研究函数的整体性质的桥梁，因此能恰当地应用微分中值定理就显得尤为重要。

微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理等的统称，利用微分中值定理可以证明方程根的存在性，证明等式或不等式的成立。由于它的应用难度较大，很多学生在学习这部分的内容时一头雾水，下面从几个方面对微积分定理在证明中的应用进行详细的分析。

1 利用中值定理证明方程根的唯一性

例 证明方程有且只有一个小于1的正根。

析 “有”表示方程的根存在，需用到零点定理，“只有一个”表示方程的根是唯一的，需用到罗尔定理来做。

证 （1）存在性 令，则在[0，1]上连续，且，由零点定理可知， （0，1），使得。

即是方程的小于1的正根。

（2）唯一性（反证法） 设方程另有一根（0，1），且使得。不妨设，由于在上满足罗尔定理的条件，至少存在一个，使得。这与矛盾。

故方程有且只有一个小于1的正根。

2 利用中值定理证明等式的成立

例 证明恒等式，。

析 要想证明该等式成立， 需分两步来证：首先需证等式左边的函数是一个常值函数，然后证明这个常数就是等式右边的数值。……