探析离心率求解方法

陈汉鸿

【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）22-0129-02

在高中数学中，离心率是描述圆锥曲线性质的一个重要概念，是圆锥曲线的一个重要属性。在椭圆或双曲线中，离心率的定义为。我们经常会碰到离心率的问题，例如在全国高考新课标I卷中，2010文理、2011理、2012理、2013理、2014文、2016文等高考试卷中都有考查。因此，离心率探秘就是一个重要的课题，值得我们教师认真研究，这对于提高教师的教学业务素质、提升教学质量大有裨益。下面就让我们来揭开离心率的神秘面纱。椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线板块的一个重要问题。而离心率的求法又包括求值与求范围两种类型。笔者经过多年的教学实践，终于摸索出一套行之有效的方法，下面是笔者的体会：

一、求离心率的值

1.定义法：利用离心率的定义来求

例1、双曲线的离心率为_______.

解析：因为，所以，所以离心率

已知方程求离心率是最基础的问题，有时已知了一个含有a，b，c的等式，要求離心率，此时就要利用a，b，c之间的关系，把b转化为a，c，再求离心率。

请看一简例：已知在椭圆中，a=2b，求此椭圆的离心率e。

解析：，

所以。比之更复杂的情况是，既无法求出a，c，也没有直接给出含a，b，c的等式关系，这时我们就要根据题意寻找含有a，b或c的等式关系，我们可以从以下两方面进行寻找：即坐标法和几何法。

2.坐标法：坐标法就是先求出曲线上的一个点的坐标（坐标中可含有a，b，c），然后再代入曲线方程，从而得出一个含有a，b，c的等式，离心率可解。

例2.（2016年福建省质检理数）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）