“加减乘除”解排列组合问题

马桂萍

【摘要】排列组合问题是高中数学的重要内容。为了更好的解决排列组合问题，本文首先总结出了求解排列组合问题的依据，原则，关键，接着通过实际问题说明了分类讨论法，并重点介绍利用“加减乘除”方法在一些问题的应用，说明该方法在解决排列组合问题时是一种很有效的方法。

【关键词】排列；组合；分类讨论；加减乘除

解排列组合问题的依据、原则、关键

①解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合：

②解排列组合问题的三先三后原则：先分类后分步：先特殊后一般，先组合后排列：

③解排列组合问题的关键：注意分类讨论。

一、分类讨论法

【例1】安排5名歌手的演出順序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是____。（用数字作答）

【分析及解】分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有A：种排法（2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有A 3JA3A；种排法，故共有78种不同排法。

二、解排列组合问题的方法

相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，多排问题单排法，定位问题优先法，多元问题分类法，选取问题先选后排至多至少问题间接法，求正整数解个数出隔板法等：主要方法有：

加：利用加法的关键是正确分类，分类前必须先确定一个分类标准，使完成这件事的任何一种方法都属于且只属于某一类。

【例1】有一个密码为631208的手提箱，现有显示号码为080127，要打开箱子，至少旋转几次？（每个旋钮可显示的数字依次为O，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任何一个，只要一个旋钮上转…一个新的数字就为一次，逆转与顺转都可以）

【分析及解】在第一个旋钮上由O转为6，顺转需要6次，逆转需要4次，所以，在第一个旋钮上至少需要转4次，同理，在第二个旋钮上至少需要转5次，在第三个旋钮上至少需要转1次，在第四个旋钮上至少需要转1次，在第五个旋钮上至少需要转2次，在第六个旋钮上至少需要转1次，因此，要打开箱子，至少旋转4+5+1+1+2+1= 14次。

减：完成一件事，当正面直接分类较困难，而不完成这件事的情况却容易分类时，则只需要在完成这件事与否的方法总数中减去不完成这件事的方法总数即可，

【例2】以正方体的顶点为顶点，共可构成多少个四面体？

【分析及解】由于以正方体的顶点为顶点，共可构成C48个四边形，其中共面的四边形有（1）以正方体的表面四边形有6个，（2）对角面有6个，因此，以正方体的顶点为顶点，共可构成C4-6-6=58个四面体。

乘：是分步计数原理在解题中的应用，完成一件事，需要分成连续ri个步骤，只有完成且只需要完成这n个步骤，事情才能完成，则完成这件事的方法总数是分步完成方法数的乘积。

【例3】2100有多少个正的约数？

【分析及解】由2100=22x3x52x7，第一步，考虑是否有约数2，有3种选择：“不选”，“选1个”，“选2个”共3种不同的选法：第二步，考虑是否有约数3，有2种选择：“不选”，“选1个”，共2种不同的选法；第三步，考虑是否有约数5，有3种选择：“不选”，“选1个”，“选2个”共3种不同的选法：第四步，考虑是否有约数7，有3种选择：“不选”，“选1个”，共2种不同的选法：所以，2100有3×2x3x2= 36个正约数。

除：除是针对有“对称”关系而采用的一种解法.如果完成一件事中存在着一些特殊的元素，将这些元素相互对换后，并不影响完成这件事的方法总数，就称这些特殊的元素具有“对称”关系，把具有“对称”关系的所有元素的全排列应看作同一种情形，这时候要用除法。

【例4】将n个不同的元素排成一列，其中a，在a2的左边，a。在a的左边，…，ak-1，在ak的左边，（a1，a2，…，ak不一定相邻），有多少种不同的排法？

【分析及解】这是一个定序问题，其中，a.，a2，…，ak的顺序只有一种情形，因此，共有

种排法。

【例5】把6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的分法？

【分析及解】这是一个平均分组问题，由于各组内的元素个数相同，所以组内元素进行整体对换后，分组总数不受影响，即组与组是对称的，因而，平均分组问题要用除法解决.有

种不同的分法。

捆：是对元素进行整体处理的形象化描述，在排列组合问题中，有时要求某些元素必须相邻，可以把这些元素“捆”在一起，从而保证这些元素相邻而不散乱。

【例6】把4封信投入三个信箱中的两个信箱，有多少种不同的投法？

【分析及解】4封信的投法分为两类：第一类是一个信箱3封，一个信箱1封，第二类是两个信箱各2封，在第一类分法中，为了保证3封信在同一个信箱，需要把其中的3封信“捆”在一起，在第二类分法中，同样需要把其中的每个2封信“捆”在一起。

（1）-个信箱3封，一个信箱1封时，有 种投法。

（2）两个信箱各2封时，有

种投法。

由（1），（2）共有24+18= 42种投法。

插：是排列组合中保证某些特殊元素互不相邻的常用手段，在解题时，先将其它元素排列，然后再将这些特殊元素插入在其它元素的间隙中。

【例7】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的3只路灯熄灭，但不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，问满足条件的熄灭3只路灯的方法有多少种？

【分析及解】不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，实质上是熄灭的任意两只路灯不能相邻。

亮着的7只路灯是不加区别的，其排列的情况只有一种.这7只路灯之间有8个间隙，将3只熄灭的路灯插入间隙，共有c 种插法，所以，满足条件的熄灭3只路灯的方法有lxC3= 56种。

隔：用与整数分解型的排列组合问题，其思路是先把整数分解成单位数1的和，然后把这个和式分隔成若干段，使每种分隔都只和完成这件事的一种方法相对应。

【例8】某学校从高中三个年级中选20人组成田径队，要求高一至少4人，高二至少5人，高三至少6人，共有几种选法？

【分析及解】首先确定在高一选3人，高二选4人，高三选5人，共12人，还差8人，再在高中三个年级中选8人，每个年级至少选一人，相当于方程x，+X2+X3=8的正整数解的组数，即有c；=21种选法。

化：就是通过一一对应关系，用映射的方法寻求解题途径。

【例9】若凸八边形的对角线两两相交，且除顶点外，再无三线共点，试问这些交点有多少个在其内部？

【分析及解】以凸八边形的顶点为顶点的四边形的对角线的交点对应一个凸八边形的对角线两两相交的内部的交点，而以凸八边形的顶点为顶点的四边形共有C =70个，即凸八边形的对角线交点有70个在内部。