微积分中变与不变视角下的反函数教学研究

陶印修 徐云

【摘要】讲反函数的目的是为了讲三角函数的反函数吗？由经济数学中价格函数P=f（Q）的反函数是需求函数Q=f1（P）容易知道，讲反函数的目的不单纯是为了讲三角函数的反函数，讲三角函数的反函数——反三角函数只是讲反函数的目的之一。基于反函数难学，因此有必要对反函数的教学进行研究。反函数中的变只是与反函数fl中的自变量用x、因变量用y的习惯记法有关，而反函数中的不变就是反函数记号f1n。把函数x=f1（y）称为函数y=f（x）的本义反函数，实际中用此。把函数y=f-1（x）称为函数y=f（x）的矫形反函数，理论中用此。本文一方面体现何时用本义反函数，何时用矫形反函数，另一方面通过首尾两个例子突出本义反函数的实用性，让同学真正掌握反函数。

【关键词】变；不变；已知函数；矫形反函数；本义反函数

一、变视角下的反函数教学研究

（一）已知函数

由于函数y=f（x）是事先给出的函数，因此把函数y=f（x）叫作已知函数或直接函数。

（二）本义反函数

已知函数y=f（x）中是用x表示y，所谓函数y=f（x）的反函数就是反过来表示的函数，即用y表示x。函数y=f（x）反函数的专用记号为x= f-1（y），把函数x=f1（y）称为函数y=f（x）的本义反函数。实际中用此。

例1：价格函数P=f（Q）的反函数需求函数Q=f“（P）就是本义反函数（实用中用）。

例1也可理锯为需求函数Q=cp（P）的反函数价格函数P=cp-l（Q）就是本义反函数。

（三）矫形反函数

本义反函数x=f-1（y）中的白变量与因变量的记法与习惯表示不一致，为了与习惯表示保持一致，需要把本义反函数x=f“（y）中的白变量与因变量互换位置，得y=f-1（x），把函数y = f-1（x）称为函数y=f（x）的矫形反函数，此为变视角下的反函数。理论中用此。

例2：幂函数v=Xa的反函数开方函数x= （a为大于1的正整数）就是本义反函数（实用中用），而开方函数y=

就是矫形反函数（理论中用）。

顺便指出：指数函数y= ax的反函数对数函数x= log。y就是本义反函数，而对数函数y= logx就是矫形反函数。

由上述内容可以引申出了解的内容：幂函数与指数函数都可以理解为乘方函数，乘方函数的反函数可以是开方函数（当乘方函数为指数大于1的正整数的幂函数时），也可以是对数函数（当乘方函数为指数函数时）。

例3：余弦函数y=cosx的反函数反余弦函数x= arccosy就是本义反函数（实用中用），而反余弦函数y= areeosx就是矫形反函数（理论中用）。

二、不变视角下的反函数教学研究

（一）反函数的实质

先说明函数y=f（x）的实质，即对应法则f是作用在函数y=f（x）定义域上的函数。

再说明反函数y=f-1（x）（或x=f-1（y））的实质，即对应法则f-l是作用在反函数y=f-1（x）（或x=f-1（y））定义域上的反函数。

（二）本义反函数与矫形反函数的关系

本义反函数与矫形反函数是同一反函数f-1，此为不变视角下的反函数。正如赵本山与宋丹丹小品中所说，你脱了马甲我也认识你啊！

三、反函数中的变与不变

反函数中的变是为了美，反函数中的不变才是其本质，说明反函数即要面子又要里子。

四、互为反函数

当已知函数f时，其反函数为f-l：当已知函数f-l时，其反函数为f。f与f-1互为反函数。

五、强调本义反函數的意义

强凋本义反函数的意义就在于实用。请见例1。

下面借助例4的解题过程再次看一看本义反函数的实用性。

例4：求反正切函数y= aretanx（理论中用）的导数。

解因为y= arctanx（y=aretanx是已知函数），

显见x=tany（x= tany是y=are，tanx本义反函数，实用中用），

参考文献：

[1]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1997