基于数理知识体系自身与传播研究的微积分教学

谢锡麟

(复旦大学 航空航天系，上海 200433)

1 追求具有一流水平的微积分教学

研习当今具有国际一流程度的微积分教程的广度与深度，以俄罗斯Zorich(卓里奇)著《数学分析》[1]等为代表的微积分教程，可归纳以下特点： ① 在讲述一元微分学基础上(第一学期)，多元微分学直接建立在有限维Euclid空间之间的向量值映照之上.Zorich的书还进一步讲述一般赋范线性空间之间映照的微分学，亦即一般赋范线性空间上的微分学.② 在讲述一元函数Riemann积分的基础上(第一学期)，多元积分学则沿用有限维Eucild空间上Lebesgue积分建立的思想和方法，甚至直接进行.③ 基于有限维Euclid空间之间微分同胚的知识，发展微分流形上的微积分[2].

上述“一流化做法”的必要性及可行性，可归纳如下：

必要性① 建立于有限维Euclid空间之间映照的微积分以及一般赋范线性空间之间映照的微分学将真正全面地展现微积分在认识自然及非自然世界中的作为；相关的系统思想及方法不仅为力学、物理学等广大基础科学和技术科学而且也为经济管理等学科提供深厚的知识基础.② 讲述一般赋范线性空间之间映照的微分学，有限维Euclid空间上Lebesgue积分建立的基本思想和方法，为进一步研习测度论以及泛函分析做了十分有益的铺垫；有限维Euclid空间中微分流形的初步理论为今后研习现代数学、力学、物理以及数理经济等较为高深的学问(相关系统思想及方法的集合)提供必要的基础.需指出，随着所研究事物的复……