函数综合题的解题策略

邵红

所谓函数综合题，就是以函数知识为主体，同时还涉及到其他数学知识，而且要综合运用多种数学方法来进行求解的一类问题，具有一定的难度.大家知道，数学解题，必须讲究方法.方法得当，事半功倍；方法不当，半途而废.那么解答函数综合题，同学们必须掌握哪些基本的方法与技巧呢？

一、善于换元，化繁为简

换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.函数综合题中，往往可以经过换元将复杂的复合函数转化为简单的初等函数.

例1 （1）已知x∈（0，+∞）时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，则m的取值范围是 .

（2）对于函数f（x）=4x-m·2x+1，若存在实数x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，则实数m的取值范围是 .

解析：（1）令t=3x（t>1），则由已知得函数f（t）=t2-mt+m+1的图象在t∈（1，+∞）上恒在x轴的上方，则对于方程f（t）=0有

Δ=（-m）2-4（m+1）<0或Δ≥0，

m2≤1，

f（1）=1-m+m+1≥0，解得m<2+22.

（2）若存在实数x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，

即4-x0-m·2-x0+1=-4x0+m·2x0+1，

所以14x0+4x0=2m·（12x0+2x0），

令t=2x0（t>0），则1t2+t2=2m（1t+t），令λ=1t+t（λ≥2），所以2m=λ-2λ，

令g（λ）=λ-2λ（λ≥2），易知g（λ）在区间[2，+∞）上单调递增，所以2m≥2-22=1，故m≥12.

评注：本例第（1）小题，经过换元转化为我们熟知的二次函数问题.而本例第（2）小题经过两次换元，将原本复杂的函数问题转化为简单函数g（λ）的最值问题.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.

二、适当配方，巧中取胜

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全……