识别信号对尾流激励的叶片气动力Volterra降阶模型的影响

张 珺，李立州，罗 骁，李彩霞，原梅妮

（1.太原学院数学系，太原030001；2.中北大学机电工程学院，太原030051）

0 引言

航空发动机中存在气流导向的静叶和对外作功的动叶。当动、静叶相对转动时，上游尾流会使下游叶片气动力周期性振荡[1-3]，使其受迫振动、发生疲劳破坏[4-5]；近年来发现上游尾流甚至可以改变叶片的颤振特性[6-8]。因此，研究动、静叶干涉下叶片的气动力弹性振动对发动机设计有着重要意义。目前，对动、静叶干涉下叶片的气动力弹性振动的研究主要采用数值和试验方法，效率极低，工程应用不便[9-15]。特别是对于需要反复进行气动弹性分析的发动机多学科优化、可靠性分析和疲劳设计优化，直接采用数值和试验方法的工作量巨大。亟需开发精确、高效的方法。

气动力降阶模型(aerodynamic ROM)是1种描述扰动和叶片气动力之间关系的简化数学模型[10]。Silva[10]提出了基于Volterra级数的非线性气动力降阶模型，用于描述机翼振动引起的气动力变化；张伟伟[11-12]等基于Volterra级数模型研究了叶栅的颤振；Liou[13]等用Volterra级数法研究了跨声速叶片的颤振；Ekici[14]等用谐波平衡方法研究了叶片的颤振，认为所得结果与势流理论结果符合较好；Ashcroft[15]等用谐波平衡法研究了2维压气机叶栅的亚声速和跨声速颤振特性，可以准确预测颤振。

但现有的气动力降阶模型的研究集中在叶片和机翼颤振方面，对动、静叶干涉的叶片气动弹性振动问题没有涉及。本文将基于Volterra级数的气动力降阶模型的方法扩展到动、静叶干涉问题，建立尾流激励的叶片气动力降阶模型，并研究稳态条件和识别信号的选取对该气动力降阶模型精度的影响。该气动力降阶模型可以在叶片高低周疲劳设计、叶片气动弹性分析和优化、叶片寿命可靠性分析中快速提供气动力荷载。

1 基于Volterra级数的尾流激励的叶片气动力降阶模型

1.1 时变系统的Volterra级数降阶模型

任意时变系统Ψ可以用Volterra级数表示[10]

对于均匀采样的时变系统，其离散的Volterra级数模型可以写为

式中：X[n]=X（t）|t=nΔΤ=X（nΔΤ），为系统的输入向量；Y[n]=Y（t）|t=nΔΤ=Y（nΔΤ），为系统的输出向量；n=0,1,…,N，为离散的时间；ΔΤ为时间步长；t为时间；H0为系统稳态响应矩阵；H1、H2、Hl分别为 1、2、l阶核函数矩阵。

由于Volterra级数的2阶以上核函数的数量大，核函数识别的工作量巨大，因此常采用1阶核函数的Volterra级数降阶模型。

1.2 基于Volterra级数的尾流激励的叶片气动力降阶模型

基于以上Volterra级数降阶模型，本文建立尾流激励对叶片气动力影响的降阶模型。以2维叶片为例介绍气动力降阶模型的方法，叶片如图1所示。由于上、下游叶片相对转动，上游尾流以速度w在进口处移动。上游尾流移动使下游流场和叶片气动力周期性变化。

该上游尾流激励的叶片流场可以看作进口条件随时间变化的系统，进口条件可以用进口总压p和进气角β表示，是时间t和坐标y的函数。因此，尾流激励的叶片气动力系统可以表示为

图1 尾流激励的叶片

式中：Cl（t）、Cm（t）、Cd（t）分别为叶片的升力、力矩、阻力。

进口总压和进气角的变化是由于上游尾流沿进口移动引起的，是沿着进口移动的行波，因此进口各点的总压和进气角可以用进口已知点y0的总压和进气角表示，即和 β（y,则尾流激励的叶片气动力系统可以表示为

用1阶Volterra级数展开该系统，得到上游尾流激励的气动力降阶模型

式中：H0、U0和V0分别为稳态升力、力矩和阻力；分别为进口总压变化引起的升力、力矩和阻力变化的1阶核函数；分别为进气角变化引起的升力、力矩和阻力变化的1阶核函数。

1.3 Volterra级数气动力降阶模型中核函数的识别方法

气动力降阶模型的核函数可以用阶跃、脉冲和噪声等信号识别。用阶跃信号辨识出的核函数比较稳定且能反映系统的部分非线性特性，因此在实践中广泛采用。阶跃信号识别气动力降阶模型的核函数的方法的步骤是：首先获得叶片的稳态流场和气动力；然后在稳态流场上增加单位阶跃的扰动，求在该阶跃扰动下叶片气动力的响应；最后用如下公式计算降阶模型的核函数

式中：y[n]为由单位阶跃扰动引起的叶片气动力响应；

稳态流场的选择应当使气动力的稳态值接近尾流激励下气动力波动的平均值，而且阶跃信号的选择应当符合小扰动假设。气动力响应可以是气动力试验的结果，也可以是CFD仿真的结果。将识别好的核函数代入气动力降阶模型（式（5）），就可预测任意尾流下该叶片的气动力。

2 算例验证

为验证本文方法，以图2（a）中下游叶片为研究对象，建立上游尾流对该叶片气动力影响的降阶模型。取流场进口的总压和进气角为输入，取下游中间叶片的气动力为输出。尾流的总压和进气角的波形数据取自如图2所示流场上下游叶片流场交界面。上游叶片以10 m/s的速度沿着进口向上移动。

图2 尾流激励的叶片流场

采用fluent求解，空气，理想气体，Spallart-Allmaras黏性模型，无滑移壁面，叶片进、出口如图2所示。出口压力为101325 Pa，温度为300 K。求解时，先给定1个稳态进口总压和稳态进气角，让进口所有点的总压和进气角都为该值，求得稳态流场。在稳态流场求解的基础上，用fluent的udf程序调整不同时刻流场进口的压力和进气角，以此实现尾流波形在进口的移动。

首先用该fluent气动模型辨识气动力降阶模型的核函数。为简化表述，这里只介绍总压变化引起叶片气动力变化的核函数其它核函数可采用相同方法识别，不再赘述。识别时，首先选定1个稳态进口总压，让进口所有点的总压都为该值，其它条件不变。稳态进口总压选取3种：111325、118000和 120500 Pa。用fluent求解稳态进口总压下的叶片气动力。3种进口下叶片的升力H0分别为 -435、-702、-797 N；阻力 V0分别为 145.96014、246.88905、285.71491 N；力矩 U0分别为 -6.4133183、-10.636482、-12.217384 N·m。

在各稳态进口总压上增加1个阶跃扰动，计算扰动引起的气动力变化。采用3种幅值的阶跃扰动信号1000、2000和3000 Pa。对稳态总压和阶跃信号进行组合配对，分别计算叶片的升力和核函数。归一化的核函数（单位总压变化下叶片升力变化）如图3所示。从图中可见，算例中不同总压稳态值和阶跃信号幅值下核函数基本一致。说明总压稳态值和信号幅值对核函数识别结果的影响不显著。这也进一步说明在小扰动条件下流场系统是弱非线性系统[10]。

图3 核函数识别结果

将图3的核函数代入式（5）得到尾流激励的叶片气动力降阶模型。用Matlab编写气动力降阶模型的程序可以预测任意总压变化引起的叶片气动力变化。用该气动力降阶模型计算总压波动（如图4所示）引起的叶片气动力。该进口总压稳态值为120500 Pa，稳态升力为-797 N，稳态阻力为285.71491 N，稳态力矩为-12.217384 N·m。该总压波动的数据取自图2（a）中上下游叶片流场界面处。

图4 尾流进口总压波形

用降阶模型计算得到的总压波动引起的叶片气动力如图5所示。图中减去了稳态气动力。图中第1个数字代表辨识该核函数时的稳态总压，第2个数字代表阶跃信号的幅值。为方便比较，图中也给出了用fluent计算出的叶片气动力。从图中可见，所建立的降阶模型对尾流激励的叶片气动力描述较好，得到的叶片气动力的波形和振幅与用CFD模型得到的结果基本一致；用各核函数得到气动力结果基本相同，说明稳态总压和阶跃信号对核函数的精度影响不大。

图5 总压波动下叶片的升力

用降阶模型计算出的叶片气动力的误差如图6所示。该误差是降阶模型计算出的气动力与CFD模型计算出的气动力的差的绝对值。从图中可见，在初始冲击阶段误差较小，在周期振荡阶段误差较大。需要进一步提高周期振荡阶段的降阶模型的精度。

另外需要说明的是：识别本例中气动力降阶模型的核函数所用CFD计算时间为6 h，降阶模型计算时间小于1 s，而尾流激励下叶片气动力CFD计算时间为32 h。

图6 叶片的气动力的误差

3 总结

本文基于Volterra级数，建立了尾流激励的叶片气动力降阶模型，并研究了稳态条件和阶跃信号幅值选取对尾流激励的气动力降阶模型辨识精度的影响。结果表明：所建立的Volterra级数的气动力降阶模型对尾流激励的叶片气动力描述较好，得到的叶片气动力的波形和振幅与用CFD模型得到的结果基本一致，所建立的气动力降阶模型能够正确表征尾流对叶片的激励作用；不同稳态条件和阶跃信号幅值下核函数和叶片气动力响应基本相同，稳态条件和阶跃信号幅值对核函数的影响不显著；该气动力降阶模型可以快速估计尾流激励下叶片的气动力，非常适合在叶片高低周疲劳设计、叶片气动弹性分析和优化、叶片寿命可靠性分析中快速提供气动力荷载，而不需要反复进行CFD计算。

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