双分数Ornstein-Uhlenbeck过程下欧式幂型期权定价模型

武 涛, 薛 红

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

随着期权定价的深入研究, 股票价格遵循 Ornstein-Uhlenbeck(简称 O-U)过程也被逐渐引入金融市场模型中.O-U过程是一类重要的移动平均过程, 最早由Sato和Yamazato[13]在1982年提出. 许多学者也对股票价格遵从O-U过程的期权实行了定价[14-16].幂型期权是奇异期权的一种, 它在到期日的价值不是用股价与执行价格的差值,而是股票价格在到期日的某个指数幂与执行价格之间的差值. 与传统期权所不同的是, 幂型期权有能够增强期权风险的效果, 同时也有很大的变通性, 可以满足各样风险喜好的投资者的需求. 近几年不少学者研究幂型期权[17-19]，并把O-U过程引入到模型中[20-24].本文借助双分数Brown运动相关理论, 引入Ornstein-Uhlenbeck过程,假设股票价格服从双分数布朗运动和Ornstein-Uhlenbeck过程下驱动的随机微分方程,借助双分数布朗运动和Ornstein-Uhlenbeck过程下金融市场数学模型,运用保险精算方法,推导出欧式幂型期权定价公式和欧式上封顶及下保底幂型期权定价公式, 丰富了期权定价的理论.

1 双分数Ornstein-Uhlenbeck过程下金融市场数学模型

假定股票价格{St,t≥0}遵循双分数Ornstein-Uhlenbeck过程

(1)

定理1 随机微分方程(1)的解为

(2)

两边积分有

可得

得证.

注:当α=0时,可得双分数布朗运动环境下股票价格过程:

定义2[16]价格过程{St,t≥0}在[0,t]上的期望回报率β(u),u∈[0,t]定义为

(3)

定理2 股票价格{St,t≥0}在[0,t]上的期望回报率β(u),u∈[0,t]满足

(4)

当α=0时,双分数布朗运动环境下股票价格期望回报率为β(u)=μ,u∈[0,t]

证明由定理1知

由于

ξ

得证.

2 欧式幂型期权定价

定义3[13]欧式幂期权在T时刻的价值定义为:股票到期日价格按期望回报率折现值的幂与执行价(看作是无风险资产债券)按无风险利率折现值的差在股票价格实际分布的概率测度下的数学期望, 这一定价称为期权的保险精算定价. 用C(K,T)和P(K,T)分别表示执行价格为K, 到期日为T的欧式看涨幂期权和看跌幂期权在t=0时刻的价格, 则根据精算定价方法知欧式幂型期权的保险精算价值

(5)

(6)

其中

定理3 执行价格为K, 到期日为T的欧式看涨和看跌期权在t=0时刻的保险精算价值

(7)

(8)

且

则

从而B={η>d1}.

由于

(9)

其中

由此可得

同理可得

推论1 当K=1时, 可得分数O-U过程下的欧式看涨和看跌幂型期权定价公式为

推论2 当α→0时, 可得双分数布朗运动环境下的欧式幂型期权定价公式；当α→0,K=1时, 可得分数布朗运动环境下的欧式幂型期权定价公式(见文献[21]).

3 欧式上封顶及下保底幂型期权定价

定理4 设L为给定的期权上限, 则欧式看涨和看跌上封顶幂型期权在0时刻保险精算价格为

其中

证明欧式上封顶看涨幂型期权的损益为

(14)

利用定理3可得结果.

定理5 设R为给定的期权下限, 则欧式下保底看涨和看跌幂型期权0时刻保险精算价格为

证明欧式下保底看涨幂型期权的损益为

(17)

利用定理3可得结果.

注1 当L→+∞, 或L=0时, 可得双分数O-U过程下欧式看涨幂型期权定价公式.

推论3 当K=1时, 可得分数O-U过程下的欧式上封顶及下保底n次幂型期权定价公式.

推论4 当n=1时, 可得双分数O-U过程下的欧式上封顶及下保底幂型期权定价公式.

推论5 当α→0,K=1时, 可得分数布朗运动环境下的欧式上封顶及下保底幂型期权定价公式[25].

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