归纳猜想见微知著

孔双玉

归纳猜想型问题也是规律探索型问题，主要有“数、式、图形”等类型，对同学们的观察、归纳、分析及推理能力要求较高，经常以选择、填空、压轴题的形式出现.我们常用的解析模式是“特殊—一般—特殊”，这也是人类认识新生事物的一般规律.归纳猜想有利于培养创造性思维能力，是学习初中数学知识所必备的数学核心素养之一.下面让我们一起在相关问题的解析中，感受“归纳猜想”的魅力.

一、归纳数式的变化规律

例1 观察下列等式：

第1层 1+2=3

第2层 4+5+6=7+8

第3层 9+10+11+12=13+14+15

第4层 16+17+18+19+20=21+22+23+24

……

在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2016在第 层.

【分析】本题的塔状数式规律看似明显，同学们往往抓不住观察的“要点”，而两端数据的规律发现，则是本题的突破口，不同视角的观察、归纳、猜想，也成就了数学的趣味性.

解：由观察可知：

1=12；4=22；9=32；16=42；…

经计算，易知442＜2016＜452

所以2016在第44层.

【点评】数学源于自然，在貌似平常的自然现象中蕴含的数学规律，能让我们感受到数学的奇妙与魅力，这也是中考命题的源泉.

例2 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（ ）.

A.（31，50）B.（32，47）

C.（33，46）D.（34，42）

【分析】本题考查同学们对于数据的次序及个数的准确认知.我们首先要认清数据在数轴上的数点表示，而且要对等差数列求和的相关知识有所了解，并能够准确应用.

解：令2n-1=2015，解得n=1008，

经计算，易知 312＜1008＜322，所以1008-312=47.

综上可知，A2015=（32，47）.

【点评】要想准确快速地解决此类问题，必需有意识地培养数学思维的层次性，从数点和数列求和的不同视角审视问题，积累等差数列相关的性质、运算技巧，同时为高中数学的学习打下坚实的基础.

二、归纳图形的变化规律

例3 如图1，已知直角三角形ACB，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过 A1作 A1C1⊥BC，垂足为 C1；过 C1作 C1A2⊥AB，垂足为 A2，再过 A2作 A2C2⊥BC，垂足为C2……这样一直作下去，得到一组线段：CA1，A1C1，C1A2……则第10条线段A5C5= .

图1

【分析】直角三角形相关知识是中考数学考查的重点，尤其像这种垂直线段的迭代关系，一定要着眼于抓住变化中的“不变量”，加以归纳、运用.

在Rt△AA1C中，易知A1C=3sinA，

【点评】直角三角形中锐角三角函数的灵活运用是中考的热点问题，在迭代规律的应用中，要及时观察归纳数据规律，并加以合理的猜想运用，这会让我们体会到数学的简约之美、应用之美.

例4 如图2，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA 至点 A1、B1、C1，得到 A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA.顺次连接 A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至 点 A2、B2、C2，使 得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接 A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2……按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=_____.

图2

【分析】本题考查同学们的观察发现能力，以及对于三角形面积比例问题的敏锐性.易错点在于，误认为是三角形的相似变化，实则不然，需要运用辅助线分割处理，才能归纳出迭代操作中面积的变化规律.

解：连接A1C，

由A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，

【点评】迭代操作问题的解决，关键在于每一次操作后图形变化规律的发现、归纳；同时，平面几何问题的解决也往往需要辅助线的帮助.

三.归纳坐标的变化规律

例5点B（11，y1）、B（22，y2）、…、B（nn，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+图像上的点，如图4，已知点A（1x1，0）、A（2x2，0）、…、A（nxn，0）（n是正整数）依次为x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△AnBnAn+1分别是以B1、B2、B3、…、Bn为顶点的等腰三角形.

图4

（1）写出B2、Bn两点的坐标.

（2）求x2、x（3用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论.

（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由.

【分析】本题主要考查初等函数的应用及观察、归纳、分析论证的综合能力，尤其是奇数位置、偶数位置上等腰三角形底边长规律的发现，是解析问题的突破口.

解：（1）因为点 B2，Bn在直线 y=x+上，且横坐标分别为2，n，

（2）由等腰三角形“三线合一”的性质及数轴上两点间距离的概念，易知：

x2=1+（1-a）=2-a，

x3=2+［2-（2-a）］=2+a.

结论 1：顶点为 B1，B3，B5…这些奇数位置上的等腰三角形底边的长都等于2-2a；

结论 2：顶点为 B2，B4，B6…这些偶数位置上的等腰三角形底边的长都等于2a；

结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2.

（3）设第n个等腰三角形恰好是直角三角形，则这个三角形的底边长等于高yn的2倍.

由（2）知：①当n为奇数时，有

综上所述，存在等腰直角三角形.当a=时，第一个三角形是等腰三角形；当a=时，第二个三角形是等腰直角三角形；当a=时，第三个三角形是等腰直角三角形.

【点评】面对函数情境中坐标的变化，问题解决的关键点在于等腰三角形底边长度规律的归纳、猜想及应用，其次才是n范围的限定求值.