数形结合细分类 题组生长促思维
——以2017年一道存在性中考试题为例

浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学

沈岳夫 (邮编：312050)

纵观2017年各地的中考试卷，笔者发现架构在二次函数下的函数几何型的存在性问题考查比较频繁，尤其如等腰三角形的存在性问题，相似三角形的存在性问题，平行四边形的存在性问题等比比皆是．这类问题在考查时往往把存在性问题置身于函数图象这一背景下，考查的知识点相对多而分散，综合性强，对学生数形结合、分类讨论、方程与函数等数学思想方法的运用能力要求较高，从而导致这类题型得分率并不高，且漏解现象也很严重．为此，笔者特遴选一道中考试题，对其解法进行探究，愿与大家共同分享．

1 真题示例

图1

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N．

①点M在线段OA上运动，若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M、P、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M、P、N三点为“共谐点”．请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值．

当M在点A的左侧时，分三种情形画出满足题意的图形：

图2

图3

图4

若M为线段PN的中点(如图3)，由PM=MN，同理，可解得m=-1或m=3(舍去)；

评注这是一道以运动为表象，融几何与坐标为一体的压轴题，综合性强，难度较大．运动类问题大都是以动点、动线或者几何图形整体运动为载体的，在分析问题时，需要弄清楚运动的相关要素，如运动的对象、方向、速度等，并将这些要素以某种形式……