例谈导数视角下“构造函数证明不等式问题”的解决策略

江苏省南京市第九中学

竺宝林 (邮编：210018)

现行高中教材中，导数已成为研究函数性质的一种重要工具.在新课程背景下，不等式的证明已大幅度降低要求，但是不等式证明中蕴含着丰富的数学思想与数学方法，各类考试特别是高考压轴题位置依然会出现不等式证明问题，只是用纯不等式的方法解决不等式证明已不多见，一般情况都需要利用转化与化归思想，转化为函数，进而通过求导，进一步转化为函数的单调性、极值、最值来解决.在解决这类问题时，往往需要先构造函数.因而，函数的变化与构造成为分析与思考此类问题的难点.本文通过对实例的分析，与大家探讨此类问题的各种类型与解决策略，不当之处，敬请斧正.

策略1直接作差，构造函数

例1求证：lnx≤x-1.

分析考虑直接作差构造函数.

当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

所以fmax(x)=f(1)=0，f(x)≤f(1)=0，即lnx≤x-1.

评注此不等式是很多复杂不等式证明的基础，其几何意义是函数y=lnx的图象在点(1,0)处的切线y=x-1在函数图象之上(切点除外).

策略2先等价变形，再作差构造函数

分析可以把不等式作等价变形后再构造函数.

解答因x>1，所以lnx>0，只要证lnx

而lnx

令g(x)=xlnx-x+1，则g′(x)=lnx，当x>1时，g′(x)>0.

所以g(x)在(1,+∞)内单调递增，则g(x)>g(1)=0，即x-1

策略3利用齐次式消元，构造函数

则f(t)在(1,+∞)内单调递减，得f(t)

求证：f′(x1)+f′(x2)<0．

两式相减，得

.

因

评注消元是解决本类问题的主思想，构建齐次式是关键，首先把式子化简成只含有x1、x2，若是关于x1、x2的齐次式，就能通过此方法达到构造函数的目的.

策略4利用非齐次式消元，构造函数

评注非齐次式依然可以先消……