2017年金华中考试卷第15题的解析
——例谈数学模型在解题中的应用

浙江省宁波市海曙区鄞江镇中学

刘 莎 (邮编：315151)

1 原题呈现

图1

分析本题考查了坐标与图形变化——旋转；反比例函数与一次函数交点问题，以及等腰直角三角形、直角三角形等知识点.欲解决问题，又需要对于图形的条件加以变形转化，才可以让点A、点B的坐标以及45°角得以发挥作用.用此来考查学生数学分析能力、解决能力的区分度比较好.

2 解法分析

思路1构造等腰直角三角形

透过45°，联想等腰直角三角形，根据题目中“旋转”的字眼，不妨通过旋转构造等腰直角三角形.

解法1

图2

如图2，以点B为圆心，将AB顺时针旋转90°，此时恰好点A落在直线AC上的点D处.分别作DE⊥y轴，AF⊥y轴，易证△ABF≌△BDE，得到点D(1,0).由点A(2，3)与点D(1,0)可得直线AC：y=3x-3.

解法2

图3

以点A为旋转中心，将AB逆时针旋转90°，此时AB落在AG处，得到等腰直角三角形BAG.(如图3)连接BG交AC于点H处，过点A，作AF⊥y轴于F点，分别作BF⊥l于F，GE⊥AF于点E.

易证△AFB≌△GEA，可得到点G(3,1).

由于∠BAC=45°，则AC平分∠BAG，根据等腰三角形的三线合一，从而点D是BG的中点，从而D(1.5,1.5). 由点A(2，3)与点D(1.5,1.5)可得直线AC：y=3x-3.

点评解法1、2通过旋转构造等腰直角三角形，转化成已知点旋转90°后的点求坐标问题，学生可以很直观的联想到“一线三直角构造全等三角形模型”[1]，从而求出点的坐标.

思路2考虑特殊角的三角函数值

譬如30°、45°、60°、120°、135°、150°，甚至已知三角函数的角，统称为特殊角.对于特殊角，常常需要构造直角三角形，借助三角函数来解决问题.

解法3

图4

解得a=1.5或a=0.5(舍)，则点D(1.5,1.5). 由点A(2，3)与点D(1.5,1.5)可得直线AC：y=3x-3.

解法4

图5

设AC与y轴交于点M点，作BD⊥AC于点D，AF⊥y轴于点F，(如图5)则△MDB∽△MFA.

解得m=3(负值已舍)从而M(0,-3)，即b=-3.可设直线AC：y=kx-3(k≠0)，代入A(2，3)，得k=3.从而……