试论数形结合求最值与几何问题

周晓

摘要在数学问题的解决中，等价转化與数型结合思想有着极其重要的应用，尤其在一定条件下，求某些式子的最值问题，就可利用数形结合的方法，转化为求斜率、截距、距离等问题，从而使问题得到解决。

关键词数学数形结合问题转换

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

1转化为直线的斜率求最值

例1知图1，若实数x、Y满足(x -2)2 +y2=2，求y/x 的最大值及最小值。

点拨:点(2，0)满足圆的方程，而y/x正是圆上的点与原点连线的斜率如果把(x,y)视为动点，借助图形观察，则y/x的最大值和最小值正是由原点向圆所引的两条切线的斜率。

解：由已知得圆心(2，0)，半径为，设y=kx，即kx-y=0，由直线与圆相切，得|2k|/=。K=?，因此最大值为1，最小值为-1。

例题演练：如实数x，y满足求函数(x -2)2 +y2=2，求y/x 的最大值及最小值。可以用上面的方法解此题。

2转化为直线的截距求最值

已知实数x，y满足x2+y2=2（y≥0），求2x+y的取值范围。

点拨：x2+y2=1（y≥0）是以原点为圆心位于x轴上半部分的一个半圆，设b=2x+y，问题就可以转化为直线与半圆的关系。

解：设b=2x+y，则y=-2x+b，于是b可以看做半圆x2+y2=2（y≥0）且斜率为-2的直线在y轴上的截距，借助图2观察计算可得-≤b≤。

例题演练：如实数x，y满足求函数x2 +y2=1.44（y≥0），求4x+y的取值范围。 的最大值及最小值。可以用上面的方法解此题。

3几何问题

几何在数学中属于重要的学习模块，包含的内容也很丰富，平面几何、立体几何等，对运算能力与空间想象能力都有较高要求。直线与圆的运算是常考内容且是经常出现在解答题、分值较高，掌握一定的方法避免重复运算、惯性运算就显得相当重要。

例：设椭圆+=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为， 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点。若，求k的值。

解法1：(Ⅰ)设F(-c,0)，由=知a=c。过点F且与x轴垂直的直线为x=-c，代入椭圆方程有+=1，解得y=保于?，解得b=．又a2c2=b2，从而a=，因此椭圆的方程为+=1．

(Ⅱ)设点C(x1,y1)，D(x2,y2)，由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1)，由方程组消去y，整理得(3k2+2)x2+6k2x+3k26=0，从而x1+x2=，x1·x2=．因为A(,0)，B(,0)，所以，

解得．

【解析】该题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线和椭圆的位置关系及向量的运算等基础知识；考查用代数方法研究圆锥曲线的性质；考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。