诠释概念与要义，渗透思想与方法
——以苏科版“数轴”的教学为例

☉江苏省苏州高新区实验初级中学 丁 香

数轴作为数与图像完美结合的桥梁，在数学研究领域有着重要的作用，新课标也对“数轴”内容提出了“还原数轴”“理解数轴”“渗透思想”的要求.对于数轴相关知识教学，也应基于上述要求，合理设置教学环节.以下以苏科版七年级上册“数轴”教材内容为例开展教学探讨，提出教学建议.

一、基于已有经验，诠释数轴概念

数轴是初中数学深入学习与研究的工具，学生在小学阶段已经初步接触过数轴，对其有着较为粗浅的认识，数轴教学的开展可以在学生已有的知识经验上进行.另外，由于数轴的概念较为抽象，但生活中存在数轴的原型，因此对于其概念的形成可以从生活实际中抽象，利用学生经常接触的实物完成概念意义的教学.

数轴学习的初始阶段需要激活学生的已有经验，学生在小学阶段学习过根据直线上点的位置写出具体的数，即利用数来表示点，可以对该知识经验进行合理拓展，使学生对数轴的三个基本观念形成深刻的认识.引入如下活动：图1直线上的点对应着不同的数，请根据点的位置在相应的方框里写出具体的数.直线上的点是依次排列的，这样的活动可以帮助学生认识直线上数的大小关系，而数与点的对应关系，以及直线的方向性对于学生后续理解“点”“直线”“数”极为有利.

图1

图2

数轴的概念抽象可以联系生活中的直尺和温度计，如图2，利用两者的刻度排列使学生理解数的实际意义，如让学生思考刻度上的“0”所代表的含义，以及温度计上如何表示“零上6℃”和“零下6℃”.在此基础上通过类比让学生思考能否绘出一条直线，用直线上的点表示正数、0和负数，从而引出后续的探究.学生对于绘图一般有极大的兴趣，概念教学可以设置绘图活动，让学生通过动手实践的方式认识数轴的概念.活动如下：（1）首先画一条水平的直线，在直线上取一点为0，定为原点；（2）要求直线向右为正方向，并用箭头表示，向左为负方向；（3）在直线上取适当的单位长度，然后从原点向右每隔单位长度取一点，标为“1、2、3、4……”，原点向左同样每隔一单位长度取一点，标为“－1、－2、－3、－4……”，如图3所示.通过这样的三个活动步骤，类比直尺和温度计完成了数轴的绘制，然后引导学生理解这样的具有原点、规定方向及单位长度的直线就是数轴，从而完成数轴的概念教学.

图3

数轴概念教学中引导学生回顾已有知识经验，唤起学生对于数与点对应关系的认识，结合生活经验，类比生活实物，通过绘图的方式使学生体验数轴的绘制过程，从而理解数轴的概念和三要素.这样的教学编排符合学生的认知规律，不仅完成了从经验到知识的过渡，还在活动中锻炼了学生的绘图操作能力.

二、构建完整数系，深化“表示”要义

数轴上的点和数是相对应的关系，用点可以表示数，这是对数轴“表示”作用的充分体现.而对于数轴的深入教学需要依托数轴直观的表示作用，实现数系在数轴上的完整构建，尤其是在数轴上采用合适的方式引入无理数，使学生深刻体会数轴的“表示”要义.

学生初步掌握数轴的概念后可以编排一定的练习，让学生在数轴上标出数来体会数轴对数的表示作用，如给出下列各数：－3、、0、2.2、、4，要求学生在数轴上将其标出.同时给出如下要求：将点标在线的上方，数标在点的下方，然后让学生观察数轴思考问题：（1）通过数轴可以总结出点与数的什么关系？（2）上面的数都可以在数轴上表示出来吗？哪些数可以在数轴上表示出来？通过追问思考，可以进一步使学生理解数轴的“表示”要义，即数与点的对应关系.另外，由于问题中给出的数包含了小数、分数、整数、负数和正数等不同类型的数，学生可以初步总结出关于数的表示规律：一是数轴上的点可以表示分数；二是数轴上的点可以表示有理数.对于有理数的表示，采用简单的绘图、思考、总结的教学方式，学生经历了形象思维向理性思考的过渡，完成了数与点对应表示的初步学习.

数轴上的点除了可以表示有理数，还可以表示无理数，这是数轴完整性表示作用的体现，因此在教学中需要引导学生理解在数轴上也可以表示无理数，这是构建完整数系不可或缺的环节.可以让学生思考：数轴上有许多表示有理数的点，但是这些点并不能将整个数轴布满，那么数轴还可以表示哪些数呢？接下来可以编排如下两个活动，从学生熟悉的问题中引入无理数：（1）面积为2的正方形，它的边长a是无理数，如何在数轴上表示出来？（2）圆周率π是无限不循环的无理数，数轴上是否可以表示出来？如何操作？让学生思考两个无理数的表示方法，引导学生借助无理数对应线段来确定无理数在数轴上对应的点，如正方形边长a的表示，先以数轴为对角线作面积为2的正方形，然后以原点为圆心、a为半径画弧，则弧与数轴的交点A就为无理数a，如图4所示.无理数的数轴表示是一个相对复杂的过程，但是学习数轴“表示”要义的重要部分，借助直观的画图来表示无理数，可以辅助学生理解.

图4

数轴上有理数与无理数的对应表示是数轴“表示”要义的重要内容，也是构建完整数系的重要环节，对于学生理解数轴是连续点的结合是十分有利的.在无理数的表示中采用实验作图的方式，是对学生实验思想的初步培养.另外，无理数形成的内在机理对于拓展学生的思维具有极大的帮助.

三、渗透数学思想，促进思想提升

对于“数轴”内容的教学，不应局限于基本的知识内容，还应该在教学环节、内容设置上渗透数学的思想方法，通过合理的教学编排实现学生思想和能力的全面提升.数轴的概念是对生活问题的抽象，可以渗透抽象概括方法；数轴的建立是对生活模型的类比，可以渗透数学的模型思想和类比思想；数轴本身就是数与形的充分结合，在教学中需要向学生传达数形结合的思想方法.

数轴概念的概括过程，需充分利用温度计，从温度计的0度、单位长度、直线方向等方面进行抽象，确保概括过程的完整性、合理性和准确性.而在概括的最后阶段，需要引导学生利用数学语言描述数轴，即从数轴建立的三要素来表述，使学生充分学习知识从生活经验中抽象、概括的方法，也可以结合具有辨析性的数轴问题，检验学生抽象概括过程的理解程度.

图5

在利用温度计建立数轴过程中，要充分渗透模型思想，即从生活中的原模型——温度计，建立研究问题的数学模型——数轴，然后利用数轴研究问题，实现模型思想的双向传递.对于数轴上的大小关系，则可以渗透类比思想，如给出温度计与数轴的对应图，如图5，让学生思考温度计由上到下的数值变化关系，以及数轴由左到右的变化情况，并比较点的位置关系.类比温度计的温度变化，学生可以较为容易地得出数轴上两点的大小关系，右边表示的数必然比左边表示的数大，则从左到右是逐渐增大的过程，渗透类比思想更能辅助学生进行规律总结.

图6

数轴实现了数与点的对应，这是一种较为特殊的数形对应，因此对于数轴的深入教学需要渗透数形结合思想，即不仅从图像角度使学生了解点之间的位置关系，还需要从代数方面使学生理解数的大小关系.如在教学中设置如下问题：图6所示数轴上的点P坐标为a，点Q的坐标为b，则P和Q两点之间的距离如何表示？该问题表面上是数轴上两点之间的距离表示，实际上是数学的代数运算问题，结合数轴的正方向的唯一性，很容易可得b＞a，则PQ=b－a.单纯依靠代数分析并不能确定b和a的大小关系，结合数轴图则可以避开分类讨论，完成数学符号的关系表述，实现距离的精准求解，两者的充分结合充分体现出数形结合的思想意义.

在教学中渗透数学的思想方法，注重培养学生的思维能力，是新课改对于中学教学的思想要求.思想是数学的精髓，依托于知识内容，而又需要以具体的方式向学生传达，“数轴”的教学中采用结合实际问题、特殊情形，引导思考的方式，更能使学生亲身体会思想方法的重要意义，在潜移默化中获得思想的提升.

四、结束语

“数轴”内容对于学生而言并不陌生，但如何使学生在原有基础上获得更深的知识感悟则存在一定的难度，最有效的方法是依托学生已有的经验基础，结合基本的实践活动，引导学生体验概念形成的初始阶段，从中归纳数轴的基本规律；紧抓数轴的“表示”要义，设置具体的问题情景，引导学生思考分析，充分理解数轴上点对数的完整表示.数轴作为具有重要教学启示的内容，还肩负着提升学生思想的重任，在教学中需渗透抽象思想、概括方法、模型思想、类比思想、数形结合思想，以全面提升学生的思想水平为教学目标，达成素质教育的伟大愿景.

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4.徐沙沙.“数轴”单元的教学设计与思考——苏科版七年级上册数轴1课时［J］.数理化学习，2016（12）.F