集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元和极大子群

2018-07-02 08:44林屏峰
关键词:子群情形学报

林屏峰

(西南民族大学预科教育学院,四川 成都 610041)

上世纪九十年代末,Ralpha N.Mckenzie和Boris M.Schein在文献[1]中指出,任意半群都可以同构于某个二元关系半群的子半群,这说明对二元关系半群的研究具有非常重要的意义.对二元关系半群的研究始于二十世纪中叶,R.J.Plemmons[2-3]等人对集合上的二元关系半群的进行了研究,获得了一些基本性质和一些子半群结构;S.Schwarz[4]对集合上的二元关系半群的幂等元进行了研究.至本世纪初,J.Konieczny[5]对集合上的二元关系半群的正则元也进行了研究.二十世纪七、八十年代,Karen Chase在文献[6-8]中构造了夹心二元关系半群,并研究了这类半群的基本性质和极大子群.本世纪初,作者在文献[9-10]通过推广Karen Chase的夹心二元关系半群,获得从一个集合到另一个集合的二元关系半群,并且对其中一类进行了深入研究.虽已取得许多成果,但是对二元关系半群的研究却还未完成.近年来,作者在文献[10-14]中利用半格的性质构造了集合上的半格确定的二元关系半群,并且对这类半群的Green-关系、一些特殊元(幂等元、不可分解元)进行了深入的研究.作者将在文献[10-14]的基础之上,对集合上的一类特殊半格确定的二元关系半群进行了系统的研究,获得了幂等元的结构和极大子群.

下面给出需要使用的重要符号和概念,主要来源于文献[12].

设Λ是一个非空集合,令P(Λ)={U:U⊆Λ},P*(Λ)={U:Φ⊂U⊆Λ}.集合P(Λ)关于集合的并运算构成一个半格.若Γ是P(Λ)的一个子半格,则称Γ是集合Λ上的一个半格.设Γ是集合Λ上的一个半格,令,则sup(Γ) 是 Γ 的最大元.

设min(Γ)是集合Λ上的半格Γ的所有极小元构成的集合.则显然有下列性质:

引理1 设Γ是集合Λ上的半格,U∈Γ,U∈min(Γ).若

设Λ是一个非空集合,令P(Λ×Λ)={σ=U×V|U,V⊆Λ},即P(Λ×Λ)是Λ上的所有二元关系构成的集合.设ρ∈P(Λ×Λ),Γ是集合Λ上的一个半格.定义如下集合,W(ρ,Γ)={ρK:K∈ Γ},则显然W(ρ,Γ)也是集合Λ上的一个半格.

设f:Λ→Γ是一集值变换.定义{λ}, 则αf∈P(Λ×Λ).令PΓ(Λ×Λ)={αf:f是Λ到Γ的集值变换}.在文献[11]中证明了PΓ(Λ×Λ)在二元关系的乘积运算下构成半群,称为集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群.

定义1 若集合Λ上的半格Γ满足下列两个条件:(1)对任意U,V∈ Γ,且U≠V,有U∪V=sup(Γ);(2)对任意U,V∈Γ,有U∩V≠Φ.则称Γ是集合Λ上的简单半格.

显然集合Λ上的简单半格Γ具有如下性质:Φ∉Γ;对任意U,V∈Γ-{sup(Γ)},且U≠V,有U-V≠Φ ;min(Γ)=Γ-{sup(Γ)},并且min(Γ)是Γ的生成集.

文中涉及的半格理论可参看文献[15].

1 集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ ×Λ)的幂等元

集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元具有下列特征.

定理1 设Γ是集合Λ上的简单半格,ε∈PΓ(Λ×Λ).则ε是幂等元当且仅当

先证明如下性质:

引理2设α,β∈PΓ(Λ×Λ).若存在σ∈PΓ(Λ×Λ) ,使得β°σ=α, 则W(α,P*(Λ))⊆W(β,Γ),反之亦然.

证明根据文献[12]中引理2易得.

由引理2容易获得如下性质:

推论1设Φ∉Γ,ε是半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元,则W(ε,P*(Λ))=W(ε,Γ).

引理3设Γ是集合Λ上的简单半格,ε∈PΓ(Λ×Λ).若 Γ′=W(ε,Γ) ,且ε是幂等元,则半格Γ′是一条长度不超过2的链.

证明 设U1,U2∈ Γ′∩ min(Γ) ,则U1,U2⊂sup(Γ).根据简单半格Γ的定义知,存在λ∈U1∩的下界构成的集合.定义中的最大下界.于是.根据引理1 知,只能是下面三种情形之一:

即Γ′是一条长度不超过2的链.

根据推论1和引理3,显然有如下性质.

推论2设Γ是集合Λ上的简单半格,ε∈PΓ(Λ×Λ).若ε是幂等元,则W(α,P*(Λ))只能是如下三种情形之一:

定理1的证明设Γ是集合Λ上的简单半格,若ε∈PΓ(Λ×Λ)是幂等元,则根据推论2知,W(α,P*(Λ))只能是如下三种情形之一:

文献[13]研究了集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)上的幂等元具有的基本性质,进而利用传递二元关系构造了一类幂等元,但并未刻画幂等元的的基本结构.而定理1将集合上的一般半格这一条件特殊化,变成简单半格,就完全刻画了集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元的基本结构.并且集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的所有幂等元构成一个子半群,见如下定理.

定理2设Γ是集合Λ上的简单半格,EΓ(Λ)是半群PΓ(Λ×Λ)的所有幂等元构成的集合,则EΓ(Λ)是PΓ(Λ×Λ)的子半群.

证明设U1,U2∈ min(Γ).令

情形1 设U1=U2,则有

情形2 设U1≠U2.由于U1∩U2≠Φ,则有U2∩Λ1≠Φ ,sup(Γ)∩Λ1≠Φ .假设U2∩(Λ-Λ1)=Φ ,则U2⊆Λ1,从而sup(Γ)=U1∪U2⊆Λ1,即sup(Γ)-Λ1=Φ,这与sup(Γ)-Λ1≠Φ矛盾.因此U2∩(Λ-Λ1)≠Φ.又假设sup(Γ)∩(Λ-Λ1)=Φ ,则有sup(Γ)⊆Λ1,进而sup(Γ)-Λ1≠Φ ,这与sup(Γ)-Λ1≠Φ矛盾.因此sup(Γ)∩(Λ-Λ1)≠Φ.于是有

2 集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ ×Λ)的极大子群

根据集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元的结构,可以获得半群PΓ(Λ×Λ)的极大子群.下面讨论过程中,EΓ(Λ)始终是半群PΓ(Λ×Λ)的所有幂等元构成的集合.

定理3设Γ是集合Λ上的简单半格.则半群PΓ(Λ×Λ)的极大子群是由1个幂等元构成的单位元群.

证明设ε∈EΓ(Λ),Gε是半群PΓ(Λ×Λ)的以ε作为单位元的极大子群.若α∈Gε,则ε°α=α,并且存在α′∈Gε,使得α°α′=α′°α=ε.根据引理2 知,W(α,P*(Λ)) ⊆W(ε,Γ) ,W(ε,P*(Λ)) ⊆W(α,Γ).由于Φ∉Γ,则显然有Γ⊆P*(Λ).因此W(α,Γ) ⊆W(α,P*(Λ)).又根据推论 1 知,W(ε,Γ) ⊆W(ε,P*(Λ)).因此

即W(α,Γ)=W(α,P*(Λ))=W(ε,P*(Λ))=W(ε,Γ).又根据引理3知,W(ε,Γ) 只能是下面三种情形之一:

[1] MCKENZIE R N,SCHEIN B M.Every semigroups is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations[J].Transactions of the American Mathematical Society,1997,349:271-285.

[2] PLEMMONS R J,WEST M T.On the semigroup of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics,1970,35:743-753.

[3] PLEMMONS R J,SCHEIN B M.Groups of binary relations[J].Semigroup Forum,1970,1:267-271.

[4] SCHWARZ S.On idempotent binary relations on a finite set[J].Czechoslovak Mathematical Journal,1970,20:696-702.

[5] KONIECZNY J.The semigroup generated by regular Boolean matrices[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2002,25:627-641.

[6] CHASE K.New semigroups of binary relations[J].Semigroup Forum,1979,18:79-82.

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[8] CHASE K.Maximal groups in sandwish semigroups of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics,1982,100:43-59.

[9] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元关系半群Pθ(I×Λ)的正则性[J].西南民族大学学报 (自然科学版),2009,35(5):951-946.

[10] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元关系半群Pθ(I×Λ)的生成集和Green-关系[J].西南民族大学学报 (自然科学版),2010,36(1):44-49.

[11] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的基本性质[J].西南民族大学学报 (自然科学版),2012,38(4):529-532.

[12] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的Green-关系[J].西南民族大学学报 (自然科学版),2013,39(1):26-29.

[13] 林屏峰,曾伟,曾纯一.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ) 的幂等元[J].山东大学学报(理学版),2013,48(8):36-40.

[14] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的不可分解元[J].山东大学学报 (理学版),2016,51(2):12-15.

[15] BIRKHOFF G.Lattice Theory[M].New York:American Mathematical Society,1967.

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