喷涂机器人的喷涂轨迹规划

潘 洋，冉 全*，邹梦麒

1.武汉工程大学计算机科学与工程学院，湖北 武汉 30205；

2.中国矿业大学机电工程学院，江苏 徐州 221116

自从工业机器人应用于制造业，随着其机构精度、离线编程技术、数字控制技术的不断发展，其稳定、高精度、耐重复、恶劣环境中作业的特点便体现在制造业生产环节中的方方面面。而作为汽车外壳喷漆、陶瓷外表涂装的喷涂设备，喷涂机器人在涂料喷涂领域则具有至关重要的作用。目前的喷涂机器人主要用于平面喷涂和曲面喷涂两个方面。但是随着人们生活水平的提高，人们的审美要求也在不断的提高。另外，在陶瓷烧制过程中不均匀的釉料会产生裂纹，造成工件报废，所以喷涂过程中涂料的厚度要尽可能均匀。

针对这一问题，国内外有关学者对喷涂机器人喷枪轨迹优化［1-7］问题展开了深入的研究。张永贵［8］等采用BP神经网络方法进行漆膜表面函数拟合，提出一种椭圆双β漆膜厚度分布模型。MAYUR V［9］等基于二次抛物线模型提出了一种用于在自由曲面上自动生成轨迹的新型离线机器人编程方法。曾勇［10-12］等根据圆锥面的几何特点，给出了圆锥面上的喷枪轨迹生成方法，优化了圆锥曲面喷涂时的涂料平整度。高峰［13］等采用包容盒算法，实现了喷涂轨迹的自动生成。但上述已有研究中，对喷涂机器人喷射轨迹的研究并不彻底，大部分只是针对一条轨迹上的涂料堆积情况进行分析。同时，针对复杂曲面上喷射轨迹研究的方法比较复杂。

为此，本文在平面喷涂模型研究的基础上，提出了一种最小二乘自然二次曲面拟合法［14］对复杂曲面进行拟合，并采用多段分割曲线逼近目标函数的方法分析了相邻两条轨迹间的涂料堆积情况，简化了喷涂机器人复杂曲面喷射轨迹的优化问题，研究所得结果具有广泛的实用价值。

1 平面静态喷涂模型

为了更好的研究喷涂机器人的轨迹规划问题，将喷枪在平面静态喷涂过程中的作业原理简化为图1所示的模型。

图1 喷枪平面静态喷涂Fig.1 Plane static spraying of spray gun

如果将初始条件设为喷枪喷涂高度一定且喷枪轴线垂直于平面，它符合文献［15］提出的椭圆双β分布模型。模型如下：

其中：Z（x，y）为喷涂区域中任一点的涂层厚度累计速率函数；x，y为坐标变量；Zmax为喷枪中心投影点涂层厚度；a，b为椭圆形喷涂区域的长短轴；β1为x方向截面中β分布指数；β2为y方向截面中β分布指数。

为了计算方便，模型中相关参数值选用了2017年亚太地区大学生数学建模竞赛（Asia and Pacific Mathematical Contest in Modeling，APMCM）中给出的a、b、Zmax、β1和β2的计算方法：

式（2）中：P1为喷枪的雾化压力，P2为隔膜泵压力，h为喷涂高度。

上述模型是喷枪单点喷涂的模型。实际上，喷枪需要沿着规划路径移动，以便待喷涂的工件表面均匀地覆盖涂料，如图2所示。

图2 喷涂轨迹Fig.2 Spraying track

上述模型是喷枪单点平面喷涂的模型。实际上，当喷枪需要沿着图2所示规划路径移动时，可知喷涂区域的涂料厚度在单点喷涂时中间部分较厚，两侧较薄。两条轨迹的厚度分布关系如图3所示。

在实际喷涂过程中，喷枪以速度v经过时间t后涂层移动到图4虚线所在位置，x表示喷涂范围内某点S到喷涂路径的距离。

则静态喷涂时S点的厚度为：

理论上，动态喷涂模型是静态喷涂模型对时间的积分，则运动时S点处的厚度累积为：

式（4）中：T为该点接受喷涂的总时间。

联立式（3）和式（4）可以得到：

对于一个实际喷枪，P1和P2可取0.2 MPa，h取 225 mm，求解矩阵可得a、b、Zmax、β1和β2分别为109.8 mm、47.1 mm、212.8 μm、2.365 5和4.899 9。那么有：

图3 涂层重叠区域Fig.3 Coating overlap area

图4 动态喷涂示意图Fig.4 dynamic spraying diagram

图5所示为平面相邻轨迹喷涂的过程，点O为喷枪中心的投影点。为确定喷枪轨迹的合适相邻间距，使用静态喷涂模型进行求解，结果同样适用与喷枪的匀速运动。匀速运动时，轨迹涂层厚度在y方向可视为一致，因此式（6）中可以忽略y和T。

令y=0，T=1则，式（6）可以简化为：

要实现均匀喷涂，应该尽量保证点S处的厚度与点O处的厚度基本一致。

图5 平面喷涂示意图Fig.5 Plane spraying diagram

在MATLAB中绘制出Z（x，y）的函数如图6所示。可以看出涂料在平面上的堆积情况。

图6 静态喷涂厚度分布Fig.6 Distribution of static spraying thickness

其在y=0上的映射如图7所示。

图7 静态喷涂厚度在y=0平面上的投影Fig.7 Static spraying thickness on the y=0 plane

设图3中叠加处某一点的水平坐标为x0，则叠加厚度由公式（7）推导如下：

在MATLAB中得到涂层叠加厚度Z与间距d和x0的关系如图8所示。

图8 x0与d对叠加厚度的影响关系Fig.8 Effect of x0and d on superposition thickness

叠加厚度Z=Zmax时才能最大均匀化厚度，那么有：

可求得x0=69.3 mm，根据式（8）相邻轨迹厚度需相等，则下式成立：

可解得相邻轨迹重叠距离d=81.1 mm。

当喷枪保持以上相邻轨迹重叠距离工作时可保证平面喷涂均匀。

2 曲面动态喷涂模型

曲面z=-y2+y-xy（-10≤x≤10，-10≤y≤10）如图9所示。

图9 函数z=-y2+y-xyFig.9 Function z=-y2+y-xy

由图9可知，喷枪喷出的涂料由平面变到曲面上，而喷到平面上的椭圆也应该转化为曲面上的椭圆，建立转换关系如图10所示。

图10中，点f为喷涂圆锥中轴线与待喷涂曲面的交点，点b为喷枪中心点p在曲面上的垂直投影点，β为pb与pf的夹角，h为点p到图中水平面ae的垂直距离，h1为线段pb的长度，h与h1的长度近似相等。点e为喷涂圆锥中轴线和平面ae的交点。过点e且垂直于喷涂圆锥中轴线的截面圆为c1，半径为r。ce为平面ae与喷涂圆锥面截得的椭圆，ce的短轴和圆c1的直径近似相等，椭圆ce的长轴为线段mn。假设喷涂作业中平面和曲面的喷涂量一致，则圆c1的面积Sc1与椭圆ce的面积Sce比值为：

图10 （a）椭圆投影面转换关系，（b）图（a）中过线段mn的垂直截面Fig.10 （a）Conversion relationship between Ellipse and projection surface，（b）The vertical coross-section view through line of mn in diagram（a）

涂料在c1上的厚度q1与ce上的厚度qe的关系为：

圆形面c1与圆形面c2平行且在同一个圆锥形涂料张角下，根据几何关系可知这两圆形面的面积关系如下：

则涂料在c2上的厚度q2与c1上的厚度q1的关系为：

椭圆面cf为f点与曲面z=-y2+y-xy的切面，故与c2的圆锥形涂料张角一致，cf和c2的夹角为α，则cf上的涂层厚度qf与q2关系为：

假 设 喷 枪 在 曲 面z=-y2+y-xy（-10≤x≤10，-10≤y≤10）上的喷涂路径如图11所示。

图11 曲面喷涂路径Fig.11 Surface spraying path

则喷枪对曲面的喷涂，可以转化成喷枪对着曲线路径的喷涂。将x看作是定值，则曲面z=-y2+y-xy（-10≤x≤ 10，-10≤y≤10）可以看作为抛物线，进而可求得曲面上任意一点y0切线的斜率k=z′=-2y0+1-x。进行曲面喷涂时的平面投影如图12所示。

图12 平面投影示意图Fig.12 Flat projection diagram

图12中的曲线进行圆弧拟合的圆的方程为：

其圆心坐标为（A，B），圆弧半径为：

令z=x2+y2，则可将方程转化为一次函数形式，进而可得曲线上点G对圆弧的误差为：

图13为圆弧拟合示意图。h为喷枪到逼近圆弧的距离，hg为喷枪到原始曲线的距离，αg为点（xg，yg）在原始曲线法线与逼近圆弧法线的夹角。

由于喷涂高度的变化导致涂层厚度发生改变，需要分析喷枪距离h和法向偏角αg对喷涂厚度的共同影响。

图13 拟合示意图Fig.13 Fitting diagram

在喷涂误差范围内，如果要保证圆弧能够逼近目标曲面，需满足圆弧到原始曲线上各点的平方和最小，即

式（19）中：qd为轨迹优化后原始曲面上涂层厚度的平均值；qmin为轨迹优化后原始曲面上涂层厚度的最小值；qmax为轨迹优化后原始曲面上涂层厚度的最大值。令

采用修正Gauss-Newton法［16］可求得参数A、B、C的取值，从而将原始曲线的一端拟合成为圆弧。进而可将原始曲线转化为无数段小圆弧组成。其所对应的关系如图14所示。

图14 圆弧拟合关系示意图Fig.14 Arc fitting relationship diagram

图14中b为球面上喷涂投影点。设线段pa=h，pf=l，po=l1则线段pb=lcosβ，球的半径为ρ，由余弦定理求得：

所以其静态时间累积喷涂模型为：

选取曲面的一条路径j，将其分成n段曲线，并将其中的一端曲线选择出来进行研究。如图15所示为一路径划分示意图，假设在每一段的路径上，喷枪的移动速度是相等的。设在第k段的长度为dk，速度为vk，在其上的喷涂时间为tk。然后将第k段进行二次分割，分割成m段曲线，在每小段上的喷涂时间也都相等，设为tk′。

那么对式（22）中的qf求时间t的导数可得：

图15 路径划分示意图Fig.15 Path division diagram

假设每段曲线中的每一个小段上的αi与βi的变化都极小，则第k段路径上的涂层厚度为：

相邻路径j+1上的涂层厚度为：

则曲面上任意一点（xi，yi）处的涂层厚度可以表示为：

则喷枪轨迹优化问题可表示为：

从而可以通过以公差最小与喷涂面厚度差小于10%为优化条件，获得路径j、j+1之间的最佳重叠距离dj。

3 结果与讨论

如图16所示，设初始喷涂轨迹为曲面z=-y2+y-xy与平面x=1相交的曲线，即曲线z=-y2。并令喷涂起始点为曲线z=-y2上的一点p0（1，0，0）。使用第一章中平面喷涂模型的参数，并代入相关数值，通过MATLAB计算出初始轨迹和相邻轨迹在x方向上的涂层重叠距离d。实验中选取了5个离散点，计算结果如表 1所示。图16中，p0、m0、r0分别表示离散点1在初始轨迹、重叠间距中间点、相邻轨迹上的位置。表1中q（p，m，r）表示三个点p（x，y，z）、m（x，y，z）、r（x，y，z）处的涂层厚度。

图16 实验示意图Fig.16 Experimental diagram

表1 计算结果Tab.1 Calculation results

由表1数据可知，各离散点对应的涂层厚度分布符合厚度差小于10%的优化条件。

4 结 语

1）基于平面静态喷涂的椭圆双β分布模型，研究了平面喷涂时两轨迹之间的涂料堆积情况，得出相邻轨迹之间的涂料最佳重叠距离d，并在MATLAB中进行了验证。

2）根据对平面喷涂与曲面喷涂之间的映射关系的研究，使用了一种复杂曲面的最小二乘自然二次曲面拟合法，简化了复杂曲面喷涂轨迹规划的研究。

3）通过多段分割曲线逼近目标函数的方法，提出了一种相邻路径之间涂料的最佳重叠距离的计算思路，并在MATLAB中进行了验证。该方法为喷涂机器人在复杂曲面上的轨迹规划问题提供了新的参考。

［1］陈伟.喷涂机器人轨迹优化关键技术研究［D］.镇江：江苏大学，2013.

［2］张彦铎，葛林凤.一种新的基于MMAS的机器人路径规划方法［J］. 武汉工程大学学报，2009，31（5）：76-79.

［3］于乾坤，王国磊，任田雨，等.一种移动喷涂机器人的高 效 站 位 优化方法［J］. 机 器 人 ，2017，39（2）：249-256.

［4］李芳，顾海巍.喷涂机器人运动学与轨迹规划算法研究［J］. 组合机床与自动化加工技术，2017（12）：25-28.

［5］缪东晶，王国磊，吴聊，等.自由曲面均匀喷涂的机器人轨迹规划方法［J］.清华大学学报（自然科学版），2013（10）：1418-1423.

［6］ARIKAN M A S，BALKAN T.Process simulation and paint thickness measurement for robotic spray painting［J］.CIRP Annals-Manufacturing Technology，2001，50（1）：291-294.

［7］周青松.喷涂机器人人机交互及离线编程系统的研究［D］.广州：华南理工大学，2010.

［8］张永贵，黄玉美，高峰，等.喷漆机器人空气喷枪的新模型［J］.机械工程学报，2006，42（11）：226-233.

［9］MAYUR V A，SHITAL S C.Incremental approach for trajectory generation of spray painting robot［J］.An In⁃ternational Journal，2015，42（3）：228-241.

［10］曾勇，龚俊，杨东亚，等.圆锥面组合曲面的喷涂机器人喷枪轨迹优化［J］.西南交通大学学报，2012，47（1）：97-103.

［11］曾勇，龚俊.面向自然二次曲面的喷涂机器人喷枪轨迹优化［J］. 中国机械工程，2011，22（3）：282-290.

［12］曾勇.大型复杂自由曲面的喷涂机器人喷枪轨迹优化研究［D］.兰州：兰州理工大学，2011.

［13］高峰，吴俊军.基于包容盒分解的快速干涉检验算法［J］. 计算机辅助设计与图形学学报，2000，12（6）：435-440.

［14］陈光，任志良，孙海柱.最小二乘曲线拟合及MAT⁃LAB实现［J］. 兵工自动化，2005，24（3）：107-108.

［15］冯浩，吴秋，王小平.基于椭圆双β模型的球面喷涂轨迹优化［J］.机械设计与制造，2016（4）：249-252.

［16］薛嘉庆.最优化原理与方法［M］.北京：冶金工业出版社，2003：121-126.