柔性关节空间机械臂基于观测器的动态面控制

李小丽，陈 力

(1.福州大学机械工程及自动化学院，福建 福州 350116)(2.福建省高端装备制造协同创新中心，福建 福州 350116)

近年来，柔性空间机器人因其具有所需力矩小、能够有效降低因外界碰撞带来的损伤等优点而备受关注。

饱和、死区、间隙、磁滞是最常见的执行器非线性特性。针对执行器输出力矩受限的情况，文献[1]提出了自适应模糊控制器，文献[2]提出了一类基于双层神经网络的补偿器。考虑到速度信号在测量过程中容易受到噪声污染，为了减轻系统质量和节省成本等，文献[3]提出了不需要速度信息的自适应控制器。

本文针对存在执行器饱和的柔性关节漂浮基空间机械臂，采用速度差值反馈和动态面控制技术设计控制器，设计了观测器用于重构系统的速度项，同时采用RBF神经网络实现执行器饱和补偿。仿真结果表明所设计的控制器简单有效。

1 具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统动力学奇异摄动模型

平面两杆漂浮基空间机械臂系统如图1所示，根据拉格朗日第二类方程，具有2个柔性关节的载体位置、姿态均不受控的漂浮基柔性关节空间机械臂系统的动力学方程可表示成如下形式：

图1 平面两杆漂浮基空间机械臂系统

(1)

(2)

根据奇异摄动理论，将系统分解为独立时间尺度的快变子系统和慢变子系统，分别对快、慢变子系统设计控制律。其中快变子系统表示系统的弹性部分，而慢变子系统表示系统的刚性部分。于是总控制律可以表示成：

τ=τf+τs

(3)

式中：τf为快变子系统的控制力矩；τs为慢变子系统的控制力矩。

快变子系统采用速度差值反馈控制律：

(4)

式中：Kf为正定对称矩阵。

当电机转子与杆的连接近似视为刚性时，qa=q，于是可得到慢变子系统的动力学模型为：

(5)

2 执行器饱和非线性分析

考虑到系统执行器带有饱和特性，定义u为控制输入，τmax和τmin分别为执行器输出力矩的上、下限，则执行器输出τi(i=1,2)可表示为：

(6)

存在执行器饱和的闭环系统如图2所示。

图2 带执行器饱和的系统

当控制信号在执行器的饱和上、下限范围之外时，饱和现象就会发生，此时控制输入u无法完全被执行。定义未执行部分为Δ，Δ=(Δ1,Δ2)T。其中

(7)

本文的控制目标是：在执行器存在饱和的情况下，利用动态面控制技术设计出仅依靠位置信息反馈就能使得机械臂实现角度的精确跟踪。

3 慢变子系统控制器设计

对式(5)进行准线性化处理，写成如下形式：

(8)

为了便于控制器设计，先给出式(8)所具有的一些机器人系统的固有结构特性和基本假设[4]。

H(q,v1)v2=H(q,v2)v1,∀v1,v2∈R2。

3.1 观测器设计

(9)

(10)

式中：w1,w2表示观测器的状态；β为设计常数。

设计观测器如下：

(11)

式中：kh1>0，为设计常数；K(x1)为反馈增益矩阵，且K(x1)=I+βkh1M(x1)，其中I∈R2×2，为单位矩阵。

对式(10)求导，并将式(11)代入可得：

(12)

3.2 动态面设计

下面利用动态面控制技术设计控制器，同时用RBF神经网络补偿执行器的饱和非线性特性。

1)定义第一个动态面S1。

S1=x1-x1d

(13)

式中：x1d为期望轨迹。

对式(13)求导，有

(14)

(15)

(16)

3)定义第二个动态面S2。

(17)

对式(17)求导，并将式(12)和式(16)代入可得:

(18)

由式(3)和式(7)可得：

τs=Δ+u-τf

(19)

将式(19)代入式(18)，可得：

(20)

3.3 神经网络补偿执行器的饱和非线性

RBF神经网络具有逼近任意连续非线性函数的能力，可以表示成：

y=δTψ(x)

(21)

式中：x∈Rn，为网络输入量；y为网络输出；δ∈Rn，为网络权值；ψ(x)∈Rn，为非线性向量函数，ψ(x)=[ζ1(x),ζ2(x),ζ3(x),…,ζN(x)]T。ζi(x)(i=1,2,…,N)为高斯基函数，具有如下形式：

式中：zi∈Rn,i=1,2,…,N，是第i个高斯基函数的中心向量坐标值；b>0，是高斯基函数的宽度。

引理1[5],对于紧集Ω∈Rn，存在任意连续函数f:Ω→Rn和σM>0，σM为给定的逼近误差,则有理想权向量δ*∈RN，保证神经网络输出δ*Tψ(x)能够以任意精度逼近函数f，即f(x)=δ*Tψ(x)+σ*,x∈Ω，其中σ*为理想逼近误差，且‖σ*‖≤σM。

于是用RBF神经网络逼近函数M-1(x1)Δ，有

M-1(x1)Δ=δ*Tψ(xs)+σ*

(22)

设计总控制律为：

(23)

设计参数估计自适应律为：

(24)

式中；Γi为待设计正定对称矩阵；ηi>0，为设计参数；S2i为S2的第i个分量。

3.4 稳定性分析

下面对闭环系统的稳定性进行分析，主要包括观测器误差分析、动态面误差分析、神经网络权值估计误差分析。

1)观测器误差分析。

取Lyapunov函数：

(25)

对式(25)求导并利用性质1和性质3可得：

(26)

利用性质4和Young's不等式可将式(26)化简为：

(27)

式中：ζ是已知的正常数。

2) 动态面误差分析。

定义边界层误差：

(28)

对式(28)求导并结合式(17)可得：

(29)

定义权值估计误差：

(30)

取Lyapunov函数：

(31)

(32)

对于∀P>0，χ为给定的常数，且χ>0，定义紧集如下：

3)神经网络权值估计误差分析。

取Lyapunov函数：

(33)

(34)

总的Lyapunov函数为：

V=V1+V2+V3

(35)

(36)

定理1,考虑由动力学方程式(1)、(2)以及式(11)、(23)所组成的闭环控制系统，当所有初始条件满足：

(37)

且设计常数满足

(38)

式中：α为大于零的常数。

则闭环系统半全局一致终结有界，且适当选取设计常数可使得系统跟踪误差收敛到原点的一个任意小邻域内。

证明:由式(36)和式(38)可得

(39)

(40)

解式(40)可得：

0≤V(t)≤QF/2α+[V(0)-QF/2α]·

exp(-2αt)

因此，闭环系统所有信号半全局有界，且有

(41)

由式(41)可知，通过调节设计参数kh1,β,d1,d2,ε,Γi,ηi，可实现跟踪误差和状态估计误差任意小。

4 仿真结果

以图1所示的空间机械臂为例进行仿真。

系统参数选取如下：m0=40kg,m1=m2=5kg；l1=l2=3m；J0=27kg·m2,J1=J2=4kg·m2；Ja1=Ja2=0.5kg·m2;ka1=ka2=50N·m/rad。

期望轨迹为[sintcost]T；外部干扰τd=[0.5sint0.5cost]T；执行器输出力矩的饱和上限和下限分别设定为φmax=35,φmin=-35。

RBF神经网络隐藏层选取10个神经元，高斯基函数的中心向量的每个分量分布在区间[-8 8]，宽度为4，权值均初始化为0。控制参数选取如下：β=4;d1=4;kh1=2;d2=5;ε=0.01;Kf=diag([7,7]);η1=η2=0.2;Γ1(i,i)=12,Γ2(i,i)=9,i=1,2,…,10。仿真结果如图3～6所示。

图3 实际速度和观测速度对比图

图4 轨迹跟踪误差

图5 执行器输出力矩

图6 关闭τf时轨迹跟踪误差

图3反映了所设计的观测器很精确地重构了系统的速度信号。图4反映了所设计的混合控制方法可以使系统的跟踪误差收敛到任意小的范围内，并且稳态性能很好。从图5可以看出，执行器输出被限定在了规定的范围[-35 35]之内。从图6可以看出，当不进行柔性补偿时，系统的跟踪误差发散了，这是由于关节柔性的存在，电机转子与连杆之间的刚-柔性转角误差(Δq=qa-q)不断积累，由此可以证明，τf可以主动抑制系统的弹性振动。

5 结束语

本文首次将动态面控制技术应用于空间机械臂运动控制中，选择了一般的平面2轴柔性关节机械臂作为研究对象，仿真结果证明所设计的控制器简单有效。对该控制器进行适当修改，可应用于更加复杂的空间机械臂，如基座存在弹性振动、机械臂杆件存在柔性振动、多轴机械臂等。另外，本文只在关节空间范围内进行了研究，对惯性空间方面的应用还未涉及。

参考文献:

[1] PURWARA S, KARA I N, JHAA A N. Neural adaptive control of robot manipulators using fuzzy logic systems under actuator constraints[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2005,152(3): 651-664.

[2] GAO W, SELMIC R R. Neural network control of a class of nonlinear systems with actuator saturation[J]. IEEE Trans on Neural Networks, 2006, 17(1): 147-156.

[3] LIM S Y，DAWSON D M，HU J，et al. An adaptive link position tracking controller for rigid-link flexible-joint robots without velocity Measurements [J].IEEE Trans Systems, Man, and Cybemetics, 1997, 27(3): 412-427.

[4] CRAIG J J.Adaptive Control of Mechanical Manipulators[M]. Boston, MA, USA: Addison-Wesley Pub, 1988.

[5] PARK J, SANDBERG I W. Universal approximation using radial-basis-function networks[J]. Neural Computation, 1991, 3(2): 246-257.