幂指函数极限和导数的计算方法

张辉 方晓峰 王静

摘 要：介绍了计算一元和多元幂指函数极限和导数的方法，旨在对幂指函数有更深的理解和掌握。

关键词：幂指函数；极限；导数；对数求导法

幂指函数是高等数学微积分学中一类特殊的函数，如何来计算幂指函数的极限和导数是一难点。本文介绍计算一元幂指函数的极限、导数和多元幂指函数的重极限、偏导数的方法，给出相应的求解思路和重要结论，供初学者参考学习。

一、一元幂指函数[y=uxvxux>0，ux≠1]

1.极限计算

命题1：设[limux]=[A>0]，[limvx]=[B]，则[limuxvx]=[limevxlnux]=[elimvxlnux]=[elimvx·lnux]=[eBlnA]=[AB]=[limuxlimvx]。

命题2：设[limux]=1，[limvx]=[∞]，且[limvxux-1]=[A]，则[limuxvx]=[eA]。

命题3：设[αx]和[βx]是同一自变量趋近过程的无穷小，且[limfx=1]，[αx]～[α'x]，[βx]～[β'x]，若[limfx-1βx]=[A]，[limα'x+11β'x]=[B]，则[limαx+fx1βx]=[BeA]。

特别地，

当[limfx-1βx]=0时，[limαx+fx1βx]=[limα'x+11β'x]。

2.导数计算

方法一：对数求导法。等式两边取对数，得[lny=vxlnux]；等式两边对x求导，得[y'y=v'xlnux+vxu'xux]；

即[y'=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。

注1：使用对数求导法时注意函数的取值是否为正。

方法二：复合函数求导法。将y的表达式变形为[y=evxlnux]。由复合函数求导法则得，[y'=vxlnux'evxlnux=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。

二、二元幂指函数[z=ux，yvx，yux，y>0，ux，y≠1]

1.重极限计算

命题4：设[limu][x，y]=[A>0]，[limv][x，y]=[B]，

[则limux，yvx，y=AB=limux，ylimvx，y]。

命题5：设[limu][x，y]=[1]，[limv][x，y]=[∞]，且[limv][x，y][ux，y-1]=[A]，则[lim][ux，y][vx，y]=[eA]

2.偏导数计算

方法一：对数求导法。等式两边取对数，得[lnz=vx，ylnux，y]；

等式两边对x求偏导得，[1zδzδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδx]；

即[δzδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδxux，yvx，y]。同理可求得[δzδy]。

方法二：二元复合函数求导法。将z的表达式变形为[z=evx，ylnux，y]。由二元复合函数求导法则得，[δzδx=evx，ylnux，yδvx，ylnux，yδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδxux，yvx，y]。同理可求得[δzδy]。

注2：对于三元幂指函数[u=ux，y，zvx，y，zux，y，z>0，ux，y，z≠1]类似可求得相关结论。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014：103-104.

[2]张辉，敬斌，李应岐.一个幂指函数极限的计算方法探讨[J].数学学习与研究，2017：16.

[3]张辉，李应岐，陈春梅，敬斌.高等数学常见疑难问题解析[J].郑州师范教育，2014，3（4）：69-71.

基金項目：陕西省教育厅专项科研计划项目（编号：16JK1696）资助。