一个几何不等式的加强与证明

成克勤

安振平在2011年第11期的《中学数学教育参考》（上半月刊）中给出了三十个有趣的不等式，下面是第30个不等式的加强与证明。

第30个不等式：设[?ABC]的三边长、半周长分别为a，b，c，p，面积为△，则有不等式：[ap-acosB-C4≥23?]；笔者通过探究，发现此不等式成立，并可以加强为如下命题。

命题：设[?ABC]的三边长、半周长分别为a，b，c，p，面积为△，则有不等式：=[b+c2tanA2bc]≥4[tanA2][pp-acosB-C4]≥2[tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4][?]，我们先给出如下两个引理，引理1 若[?ABC]的面积[≥23?]，为[?]，角A，B，C的对边分别为a，b，c则[a2cos2][B-C2]+[b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥4[tanA2+tanB2+tanC2][?]≥[43?]，证明：设ha，Wa分别为三角形BC边上的高和角平分线，那么由熟知的公式：[cosB-C2=haWa]和[Wa=2bcb+ccosA2]可得：

[a2cos2B-C2?=a2-ha2?Wa2=4?Wa2=4b+c2·12bcsinA2bccosA22]

那么有：[1?a2cos2B-C2+b2cos2A-C2+c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43]整理得[a2cos2][B-C2][b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43]，以上过程用到了熟知的公式[tanA2+tanB2+tanC2≥3]。

引理2：设a，b，c是[?ABC]的三边长，Δ是[?ABC]的面积，记[a1=ab+c-a，b1=ba+c-b，c1=ca+b-c。]那么a1，b1，c1可以或为一个三角形的三边长，而且它的面积Δ1等于[?ABC]的面积Δ，a1，b1，c1的对角分别为[π2-A2，π2-B2，π2-C2]。

不等式30的加强与证明：将引理中的a、b、c、A、B、C用新的三角形的三边a1，b1，c1及三角A1、B1、C1替换得，[ap-acos2B-C4≥2tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4Δ≥23Δ]，所以[ap-acosB-C4≥ap-acos2B-C4≥2tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4Δ≥23Δ]，故命题成立.

本文作者通过对原不等式的研究，发现此不等式可以进一步推广，得出更多性质，供参考。

参考文献

[1]黄兆麟.数学问题解答[J].数学通报，2016（3）.

[2]安宁，安振平.数学博客，一个几何不等式的证明[J].