一道极大似然估计题的多种解法

◎穆军芬　王志京

(河北工业大学理学院，天津　300401)

极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)法是获得参数估计量的一种广泛使用的方法.极大似然估计量具有许多优良的性质，只要总体分布满足一定的条件，则可证明极大似然估计量具有渐进正态性、渐进有效性、一致性等性质，在一定意义下没有比极大似然估计量更好的估计，所以熟练掌握极大似然估计量的求法是非常重要的.

下面先介绍本文将要用到的知识点.

求极大似然估计的一般步骤[1]：

(1)由总体分布导出样本的联合概率函数(或联合密度函数);

(2)把样本的联合概率函数(或联合密度函数)中的自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，得到似然函数L(θ);

(3)求似然函数L(θ)的最大值点(常常转化成求lnL(θ)的最大值点)，即θ的极大似然估计量.

极大似然估计的基本思想：求参数的估计量使得实验结果发生的概率最大.

对于初学者来说，若总体分布已知，则已基本掌握了求极大似然估计的一般步骤，但在总体分布未知时，就无法写出似然函数，从而无法用一般步骤去求极大似然估计量.此时，可考虑用极大似然估计的基本思想，极大似然估计不变性等去求极大似然估计量.

本文的目的是通过灵活运用极大似然估计的一般步骤、基本思想及极大似然估计不变性给出一道极大似然估计题的三种解法，以激发学生对相关极大似然估计的解题方法进行探索.

例[3]为了估计池中鱼的数量N，先从池中捞出r条鱼，做记号……