例析如何巧求弦长

2018-07-17 09:21马国良
考试周刊 2018年62期
关键词:弦长条件

摘要:本文结合案例讨论了如何巧求弦长,涉及“解析法”“几何法”两类数学方法,其中“解析法”又包含“普通式”“参数式”“极坐标式”三种公式;文章结合案例分别讨论了应用每个公式的条件、方法及优点,突破了“弦长问题”的难点,解决了同学们在求弦长时存在的问题。

关键词:弦长;条件;巧求

弦长是二次曲线与直线相交所得线段的长度,求弦长是近几年高考課标卷的一个高频考点。由于高中阶段学生学习了不同形式的弦长公式,导致部分学生在求弦长时不能选择合适的弦长公式,既浪费时间又影响答题的准确性。因此,如何依据条件选择合适的弦长公式巧求弦长是学生需要探究的问题,下面笔者结合例1做简单分析。

例1已知圆C方程为(x-4)2+(y-2)2=4,直线l方程为x-y=0,若圆C与直线l相交于A,B两点,求|AB|的长。

一、 几何法

分析:例1中曲线C为圆,直线l为普通式方程,可以用“几何法”的弦长公式。

解:圆心(4,2)与直线l的距离d=|4-2|2=2,r=2,则|AB|=2r2-d2=22。

评析:由于例1中最特殊条件为曲线C为圆,而圆中的问题最简洁的方法是“几何法”,几何法的关键是求弦心距。因此,从曲线C的角度考虑,解答例1的首选是“几何法”。

二、 解析法(极坐标式)

分析:由于例1中曲线C可以当作普通曲线,而直线l过极点,可以用“解析法(极坐标式)”的弦长公式。

解:设A,B两点的极坐标分别为ρ1,π4,ρ2,π4,直线l和曲线C的极坐标方程分别为θ=π4(ρ∈R),ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0(∈R),由ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0(ρ∈R)

θ=π4(ρ∈R)得ρ2-62ρ+16=0(ρ∈R),则ρ1+ρ2=62,ρ1ρ2=-16,因此,|AB|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=22。

评析:由于例1中直线l过极点,从直线l的角度考虑,用“解析法(普通式)”求弦长可以使计算变得简单,如果曲线C不是圆,则用“解析法(极坐标式)”求弦长是最简洁的方法。

三、 解析法(参数式)

分析:把例1中曲线C当作普通曲线,而直线l过(0,0),倾斜角为π4,其参数方程为x=22t

y=22t(t为参数),可以用“解析法(参数式)”的弦长公式。

解:设A,B两点的参数分别为t1,t2,将直线的参数方程和曲线的普通方程联立、消元得:t2-62t+16=0,则t1+t2=62,t1t2=-16,因此,|AB|=(t1+t2)2-4t1t2=22。

评析:解决例1最好的方法是“几何法”,但如果例1中的曲线C不是圆,而直线l满足x=x0+tcosα

y=y0+tsinα(α为参数),则用“解析法(参数式)”的弦长公式较简单。

四、 解析法(普通式)

分析:把例1中曲线C当作普通曲线,直线l当作普通直线,可以用“解析法(普通式)”的弦长公式。

解:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由(x-4)2+(y-2)2

x-y=0得x2-6x+8=0,则x1+x2=6,x1x2=-8,因此,|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22。

评析:很显然用“解析法(普通式)”的弦长公式解答例1是不可取的方法,但如果例1中的曲线C和直线l都不满足特殊条件,则只能用“解析法(普通式)”的弦长公式。

以上结合例1分析了不同形式的弦长公式,比较各类公式的应用条件和优点,很显然“几何法”是解答例1最简洁的方法。但同学们要未雨绸缪,在例1的基础上,想到针对不同的条件该优先选择何种形式的弦长公式。

参考文献:

[1]李加发.一道关于求弦长习题的思考[J].考试周刊,2018(10):73.

[2]刘大鸣.抛物线焦点弦长公式的探究及应用[J].高中生之友,2018(Z1):47-48.

作者简介:

马国良,甘肃省武威市,甘肃省武威市天祝藏族自治县第二中学。

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