p3q3阶群的完全分类

陈松良, 黎先华

(1. 贵州师范学院 数学与计算机科学学院, 贵阳 550018; 2. 苏州大学 数学科学学院, 江苏 苏州 215006)

对给定阶数的有限群或对具有某种性质的有限群进行同构分类, 是有限群的研究热点之一. 文献[1]通过分析无三次因子阶群的结构特点, 给出了在同构意义上构造这类群的一种算法; 文献[2]对无四次因子阶群的结构信息给出了若干描述和刻画; 文献[3]讨论了无四次因子阶群的2-弧传递表示. 设p,q是不同的素数, 文献[4]确定了所有p3q阶群的构造； 文献[5]确定了所有p3q2阶群的构造. 设p是奇素数, 文献[6]确定了23p3阶群的构造(p≠3,7). 设p,q是不同的奇素数且p>q, 对于p3q3阶群G的同构分类, 除当Sylowq-子群是指数为q2的非交换q-群时G的同构分类尚未完成外, 其余情形的p3q3阶群的完全分类均已得到[7-14]. 本文考虑p3q3阶群的完全分类, 主要结果如下.

定理1设p,q为奇素数, 且p>q,G是p3q3阶群. 如果G的Sylowq-子群是指数为q2的非交换q-群, 则有:

1) 如果(q,(p3-1)(p+1))=1, 则G恰有5种不同构的类型;

2) 如果(q,p+1)=q(此时必有(q,p3-1)=1), 则G恰有(q+3)种不同构的类型;

4) 如果(q,p-1)=q, 则：

① 当q=3时,G有83种不同构的类型；

(i)P1=〈a〉, |a|=p3;

(ii)P2=〈a〉×〈b〉, |a|=p2, |b|=p;

(iii)P3=〈a〉×〈b〉×〈c〉, |a|=|b|=|c|=p;

引理1G的Sylowp-子群必是G的正规子群.

证明： 易见Q中恰有(q2-q)q个阶为q2的元和(q2-1)个阶为q的元, 又每个q2阶循环子群中恰有(q-1)个阶为q的元, 从而Q的自同构群Aut(Q)的阶是

(q2-q)q((q2-1)-(q-1))=q3(q-1)2.

如果G的Sylowq-子群Q是正规子群, 则G的Sylowp-子群P在Q上的作用是平凡的, 从而P◁G. 如果Q不正规, 则当1q, 因此PcharPOq(G), 于是P◁G. 如果Oq(G)=1, 则因为G是可解群, 所以Op(G)>1. 此时若P不正规, 则G/Op(G)的Sylowp-子群是不正规的. 由Sylow定理可知,G/Op(G)的Sylowp-子群的个数为q3个, 从而P/Op(G)是自正规的交换p-群, 再由Burnside定理知,G/Op(G)的Sylowq-子群QOp(G)/Op(G)是正规的. 又QOp(G)/Op(G)≅Q, 而p不整……