谐振子模型在量子系统本征值计算中的应用

谢小涛 董元浩 王建康

【摘要】束缚量子系统的本征值精确可解模型稀少，如何利用数值方法得到系统的本征值是初等量子力学教学过程中不得不面对的问题之一。本文从线性谐振子模型出发，借助谐振子本征值态所建构的希尔伯特空间，利用Matlab提供的库函数求解任意束缚势量子系统的本征值和本征函数。数值方法的讲授将极大提高学生灵活应用量子力学知识解决实际问题的能力。

【关键词】谐振子 束缚态 薛定谔方程 Matlab

【中图分类号】O413 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）03-0048-02

引言

薛定谔方程束缚态离散谱的计算是初等量子力学所研究的基本问题之一。对于定态薛定谔方程本征值求解问题，由于可解的模型稀少，数值方法成为必不可少的解决方案。数值计算在量子力学教学方面如何取得突破是值得探讨的问题之一，其能有效帮助学生形成更加清晰的物理图像并能大幅提高学生初步掌握并解决实际问题的能力。本文不关注上述数值方法，而侧重于如何基于线性谐振子模型本征波函数所建构的正交完備基求解系统的本征值及其相应的本征函数。正交完备基所组成的希尔伯特相关性质在初等量子力学教学过程均会进行详细讲解，但是相关概念依旧相当抽象，学生难以掌握。本文所介绍的数值方法有助于学生理解相关概念。

Matlab是mathworks公司发布的集数值计算、矩阵计算、数据可视化以及系统建模仿真等功能的计算语言[1]。本文利用Matlab强大的矩阵运算和绘图功能实现定态薛定谔方程离散谱和相应本征函数的数值求解。……