小学生减负，从数学计算改革做起来

何晓丽

摘 要 在引入计算公式后，计算将不再是小学生学习数学的难点。公式法的引入，将大大提高学生计算的准确度与速度。只要会进行10以内的加减计算，掌握计算公式的计算规则，那么学生就可以在短时间内进行任意数位的计算。公式法的引入，使得每个数位的计算结果独立于其他数位，更便于学生检查、修改计算结果。该公式同样适用于小数计算、元角分计算、米分米厘米计算、该算理可延伸用于解决时间计算等数学问题。本文将详细讨论计算公式及推导，并对公式法和传统教学方法进行对比。

关键词 小学数学 计算公式 整数计算 小数计算 元角分计算 米分米厘米计算 时间计算

中图分类号：G633 文献标识码：A

0前言

何谓减负？一味减少作业量？如果有一种方法，可以帮孩子节约大量的学习时间，同时又能保证大大提高孩子计算的准确度与速度，这是否才是真正有意义的减负？作为小学低年级数学学习的重点，理、工科学习的基础，计算能力之重要，不在此处累述。

那么在减少学习时间、降低学习难度的前提下，如何提高计算能力？

套用计算公式，降低多位数计算的基础要求，同时提高数位计算的灵活度。现行的整数加减计算，尤其是多位数整数加减运算，是以熟练掌握20以内加减法作为运算的基础，且学生在计算过程中，只能从低位到高位逐位推算，一旦计算结果出错，则需要重新计算。而公式法的引入，则只需要学生会10以内加减法即可，且每个计算数位独立于其他数位，便于检查、修改，在口算时可选择从高位到低位计算，符合人类的阅读与书写习惯。

在学习过程中，随着年龄、学业难度的增长，会借助很多已被科学论证的公式，帮助我们简化思考、推理的过程。所以，作为基础数学的计算，如果也有经过科学论证的公式，帮助小学生们简化分解、运算过程，那么同样值得推导与论证。

1两个整数加减运算公式及推导

1.1补数的概念

补数是一个珠心算概念，在珠心算的教学中，学生要正确进行进位、退位的拨珠计算，则必须熟练掌握补数的概念。公式法中引入补数概念，是简化整个计算过程的基础。有关补数的定义如下：

补数：两个个位整数的和为10，则这两个数互为补数（如图1）。

1.2加法公式

【Zn=（本位个位+后位进位）的个位】，有三种情况：

公式1：Zn=（A1+A2）n+Jn-1 （A1+A2）n<9；或 （A1+A2）n =9，后位无进位或连续进位

公式2：Zn=（A1-B2）n +J n-1 或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1 （A1+A2）n≥10

公式3：Zn= 0 （A1+A2）n =9，后位有进位或连续进位

其中：Z—值； A—计算数； B—A的补数； J—进位；n—计算位（n>0整数，n1为个位）

1.3减法公式

【Zn =∣本位个位-后位退位∣】，有三种情况：

公式4：Zn=（A1-A2）n-T n-1 （A1-A2）n>0；或（A1-A2）n =0，后位無退位或连续退位；

公式5：Zn=（A1+B2）n-T n-1 （A1-A2）n<0；

公式6： Zn=9 （A1-A2）n =0，后位有退位或连续退位。

其中：Z—值；A—计算数；B—A的补数； T—退位；n—计算位（n>0整数，n1为个位）

2公式推导

2.1公式推导条件

10进制运算中，n位进位Jn、退位Tn与n+1位计算结果相关，在n+1位计算中已考虑n位进位Jn、退位Tn，则在Zn计算时，只需考虑n位本位个位值，及n位后面数位的进位Jn-1、退位Tn-1（含连续进位、连续退位）情况。

2.2加法公式推导

2.2.1 当（A1+A2）n<9时，Zn=（A1+A2）n+Jn-1

证明：

因为，Jn-1只有Jn-1 =1或Jn-1 =0两种情况，

又因为，A1<10，A2<10，均为整数，

所以，当（A1+A2）n<9时，0≤（A1+A2）n+Jn-1 <10，

故，当（A1+A2）n<9时，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

当（A1+A2）n =9，后位无进位或连续进位时，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

证明：

因为，J n-1 =0，

所以，（A1+A2）n+Jn-1 =9

故，当（A1+A2）n =9，后位无进位或连续进位时，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

2.2.2 当（A1+A2）n≥10时，Zn=（A1-B2）n +Jn-1 或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1

证明：

当（A1+A2）n≥10时，n位计算数计算结果的个位为：

（A1+A2）n-10（进1给n+1位） = A1n+A2n-（A2n+B2n）= A1n+A2n-A2n-B2n =A1n-B2n=（A1-B2）n

或

（A1+A2）n -10（进1给n+1位） = A1n+A2n-（A1n+B1n）= A1n+A2n-A1n-B1n =A2n-B1n=（A2-B1）n

因为，A1<10，A2<10，均为整数，

所以，（A1+A2）n≥10时，0≤（A1+A2）n -10=（A1-B2）n=（A2-B1）n<9，

又因为，J n-1只有J n-1 =1或J n-1 =0两种情况，

所以，0≤（A1-B2）n +J n-1=（A2-B1）n + J n-1≤9

故，当（A1+A2）n≥10时，Zn=（A1-B2）n +J n-1或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1。

2.2.3当（A1+A2）n=9，后位有进位或连续进位时，Zn=0

证明：

因为，J n-1 =1

所以，（A1+A2）n+Jn-1=10

又因为，连续进位最高位（n的高位或之前若干高位）计算中已考虑n位进位或连续进位，因此n位计算应减去给其高位进位1，即n位减去10，

所以，Zn=（A1+A2）n + Jn-1-10=10-10=0 ，

故，当（A1+A2）n=9，后位有進位或连续进位时，Zn=0。

综上证明，Zn=（本位个位+后位进位）的个位。

2.3减法公式推导

2.3.1当（A1-A2）n>0时，Zn=（A1-A2）n-T n-1

证明：

因为，A1<10，A2<10，均为整数，

所以，当（A1-A2）n>0时，0<（A1-A2）n<10

又因为，T n-1只有T n-1 =1或Tn-1 =0两种情况，

所以，0≤（A1-A2）n-T n-1<10，

故，当（A1-A2）n>0时，Zn=（A1-A2）n-T n-1 。

当（A1-A2）n=0，后位无退位或连续退位时，Zn=（A1-A2）n-T n-1 。

证明：

因为，Tn-1 =0，

所以，Zn=（A1-A2）n-T n-1 =0，

故，当（A1-A2）n =0，后位无退位或连续退位时，Zn=（A1-A2）n-T n-1。

2.3.2当（A1-A2）n<0时，Zn=（A1+B2）n-T n-1

证明：

当（A1-A2）n<0时，

（A1-A2）n +10（n+1位退1）= A1n-A2n+（A2n+B2n）= A1n-A2n+A2n+B2n =A1n+B2n=（A1+B2）n

因为，A1<10，A2<10，均为整数，

所以，（A1-A2）n<0时，1≤（A1-A2）n +10=（A1+B2）n≤9，

又因为，T n-1只有T n-1 =1或Tn-1 =0两种情况，

所以，1≤（A1+B2）n-T n-1≤9

故，当（A1-A2）n <0时，Zn=（A1+B2）n-T n-1 。

2.3.3当（A1-A2）n =0，后位有退位或连续退位时，Zn=9

证明：

因为，Tn-1 =1，

又因为，连续退位最高位（n的高位或若干高位）计算中已考虑给n位的退位或连续退位，因此n位计算应加上其高位退位1，即n位加上10，

所以，Zn=10-（A1-A2）n- Tn-1=10-0-1=9，

故，当（A1-A2）n =0，后位有退位或连续退位时，Zn=9。

综上证明，Zn=∣本位个位-后位退位∣。

3公式法计算与传统计算方法的比较

3.1 20以内加法

3.1.1【例1】7+8=15

公式法计算过程

十位：公式1，进1；

个位：公式2，7-2=5或8-3=5。

传统数学方法计算过程

个位：分解7为5和2，8+2=10，个位为5；或分解8为5和3，7+3=10，个位为5；

十位：进1。

3.1.2 计算过程比较分析

（1）公式法：直接减补数进1，减少了分解过程。

（2）传统算法：对7的分解，其实就是在找8的补数2；对8的分解就是在找7的补数3。其分解过程的实质就是给7减去8的补数2，进1；给8减去7的补数3，进1。

3.2多位数加法

3.2.1【例2】658+597=1255

公式法计算过程

千位：公式1，进1；

百位：公式2，6-5+1=2；

十位：公式2，5-1+1=5；

个位：公式2，8-3=5。

传统数学方法计算过程

个位：8+7，进行数的分解，8+2=10，10+5=15，进1得5；

十位：5+9+1，对5+9进行数的分解，9+1=10，10+4=14，14+1=15，进1得5；

百位：6+5+1，对6+5进行数的分解，6+4=10，10+1=11， 11+1=12，进1得2；

千位：进1。

3.2.2 计算过程比较分析

（1）公式法：

①计算基础要求低，只在进行10以内运算；

②计算数位独立、灵活，便于检查、修改。

③ 大大降低口算的难度。可直接从左往右写出答案，与人的书写阅读习惯保持一致。

（2）传统算法：

①进行的20以内运算，计算基础要求高。如果学生基础不好，还需再进行数的分解，完成一次20以内的分解运算过程；

②计算顺序固定，数位与数位之间有连带关系，检查、修改答案复杂，需重新计算一次，或者完成一次逆运算。

③口算难度大。从低位往高位计算与人的书写、阅读习惯相斥。

3.3多位数连续进位加法

3.3.1【例3】1368+2639=4007

公式法计算过程

千位：公式1，1+2+1=4；

百位：公式3， 0；（连续进位）；

十位：公式3， 0； （连续进位）；

个位：公式2，8-1=7。

传统数学方法计算过程

个位：8+9=17， 进行数的分解，9+1=10，10+7=17，进1得7；

十位：6+3+1=10，进1得0；

百位：3+6+1=10，进1得0；

千位：1+2+1=4。

3.3.2计算过程比较分析

比较结果与【例2】一致。

3.4 20以内减法

3.4.1【例4】11-7=4

公式法计算过程

十位：公式4，退1；

个位：公式5，1+3=4。

传统数学方法计算过程

个位：10-7=3， 1+3=4；

十位：分解11为1和10，退1。

3.4.2计算过程比较分析

（1）公式法：被减数个位1直接加减数7的补数3，减少分解过程，降低了计算难度。

（2）传统算法：将11分解为1和10，10-7其实就是在计算7的补数的过程。经计算7的补数为3后，再进行1+3的计算。

3.5多位数减法

3.5.1【例5】4645-2798=1847

公式法计算过程

千位：公式4，4-2-1=1；

百位：公式5，6+3-1=8；

十位：公式5，4+1-1=4；

个位：公式5，5+2=7。

传统数学方法计算过程

个位：5-8不够减，十位退1，15-8，15分解为5和10，10-8=2，5+2=7；

十位：4-9-1不够减，百位退1，14-9-1。会简便方法则得4，如不会，则分解14为4和10，10-9=1，4+1-1=4；

百位： 6-7-1不够减，千位退1，16-7-1，分解16为6和10，10-7=3，6+3-1=8；

千位：4-2-1=1。

3.5.2计算过程比较分析

比较结果与【例2】一致。

3.6多位数连续退位减法

3.6.1【例6】5346-2349=2997

公式法计算过程

千位：公式4，5-2-1=2；

百位：公式6， 9，（连续退位）

十位：公式6， 9；（连续退位）

个位：公式5，6+1=7。

传统数学方法计算过程

个位：6-9不够减，十位退1，16-9，16分解为6和10，10-9=1，6+1=7；

十位：4-4-1不够减，百位退1，14-4-1，14-4=10，10-1=9；

百位：3-3-1不够减，千位退1，13-3-1，13-3=10，10-1=9；

千位：5-2-1=2。

3.6.2计算过程比较分析

比较结果与【例2】一致。

4公式法在其他计算问题中的应用

公式法的引入，使得十进制运算，全部都可以轻松解决，包括小数运算和元角分及米分米厘米。

小数运算其实同多位数加减法并无实际区别，只需对照小数点确定加减对应的位数，运算完成后，将小数点位放置正确即可。

4.1小数计算

【例7】7.86+5.08=12.94

十位：公式1，进1；

个位：公式2，7-5+0=2；

十分位：公式1，8+0+1=9；

百分位：公式2，6-2=4。

【例8】11.25-6.78=4.47

十位：公式4，退1；

个位：公式5，1+4-1=4；

十分位：公式5，2+3-1=4；

百分位：公式5，5+2=7。

4.2元、角、分的计算（也可转化为小数问题解决）

【例9】5元4角+2元7角4分=8元1角4分

元：公式1，5+2+1=8。

角：公式2，4-3+0=1。

分：4。

【例10】8元-6角3分=7元3角7分

元：公式4，8-0-1=7；

角：公式5，0+4-1=3；

分：公式5，0+7=7。

5.3米、分米、厘米的计算（也可转化为小数问题解决）

【例9】7米5分米8厘米+6米7分米5厘米=14米3分米3厘米

米（十位）：公式1，进1

米（个位）：公式2，7-4+1=4

分米：公式2，5-3+1=3

厘米：公式2，8-5=3

【例10】25米-3米6分米6厘米=21米3分米4厘米

米（十位）：公式4，2；

米（个位）：公式4，5-3-1=1；

分米：公式5，0+4-1=3；

厘米：公式5，4。

5公式法算理的延伸

5.1时间计算

同样先引入补数概念，时间是60进制，也就是一个数和它的补数之和等于60。

【例11】李老师7：40出发，9：15分到开会地点，请问路上走了多久？

解题思路：（分钟数不够减，时钟数退1加补数）

时：9-7-1=1

9：15-7：40=1时35分

答：路上走了1时35分。

7结语

公式法，已被重庆市乐数艺术培训有限公司在实践中验证，可以大大提升孩子计算的速度及准确度。愿每一个孩子的学习过程，能够降低一点难度，多收获一份成就与快乐。

参考文献

[1] 王卫达.新编珠心算[M].武漢：湖北人民出版社，2014.