对含有期权因素下的经济模型分析①

(安徽建筑大学数理学院,安徽 合肥 230022)

0 引 言

期权定价问题是金融工程学的核心问题之一.1973年，美国著名的金融数学家Black和Scholes发表了关于期权定价的开创性论文.文中以有效市场和股票价格满足几何布朗运动等为假设条件，利用无套利原理和伊藤公式推出了著名的Black-Scholes模型.该模型是期权定价发展史上的里程碑，它为期权乃至其他为定价权益的定价打下了坚实的基础，使得原本空洞的期权定价在理论上有了依据.然而，Black-Scholes模型基于理性人假设和期望效用理论，是一种相对理想的状况，在现实市场中，它的假设往往不符合投资者的实际.正是由于这样的疑问，试图通过改变原有模型中的某些假设，使模型更为合理。

1 Black-Scholes期权定价方法

1.1 模型的假设

Black-Scholes的期权定价理论假设条件如下：

(1)不存在无风险套利的机会；(2)没有交易费用或税收；

(3)所有证券都是高度可分的；(4)证券交易是连续的；

(5)在衍生证券的有效期内没有红利支付；(6)在整个时间范围内无风险利率是已知常数r；

(7)没有卖空的限制，允许完全使用卖空所得资金；(8)仅考虑欧式期权，即到期才能执行合约.

1.2 模型构建与求解

假设在时刻t的资产价格s的变化遵循几何布朗(Brown)运动

(1)

记f为期权价格，它依赖于股票价格s和时间t.由伊藤引理得

(2)

(3)

(4)

将(1)、(2)式代入(4)式得到:

(5)

由于(5)式中不含有随机项dz，因此该组合不含有风险，所以根据假设，可得到

dπ=rπdt

(6)

根据无风险套利原理得到等式：

(7)

即

(8)

(8)式就是Black-Scholes方程.它是一个抛物型偏微分方程.此方……