分数阶微分方程初值问题的Runge-Kutta型法

王 颖，樊孝仁

(太原工业学院 理学系，山西 太原 030008)

0 引言

分数阶导数在描述不同物质的记忆与遗传性质方面提供了有力的工具，在科学和工程的不同领域都用分数阶方程(组)来描述动力系统.分数阶微积分在数学、物理、化学、控制等领域都有广泛的应用，已经吸引了许多科学家和工程学家的关注和研究[1].同整数阶微分方程一样，许多分数阶微分方程的解都是理论上存在，其解析解并不能明确给出.然而，除了模型，对于方程出现突然发散，收敛或分歧的情况下，对于抓住其关键点是至关重要的.因此，高精度数值解仍然是需要的[2].因此，许多分数阶常微分方程的数值解法被提出，最常见的技巧是区域分解法[3-5]，变分法[6-7]，分数阶微分变换法[8-12]，分数阶差分法[13]及幂级数解法[14].同时，整数阶微分方程的经典方法也经常用到.如 ：Laplace变换法[15].然而，常微分方程初值问题的数值解法的经典方法之一Runge-Kutta方法却很少被人们所提到.

本文将把Runge-Kutta方法应用到分数阶常微分方程的初值问题中，给出其算法格式.

1 定义

以下是该文可能用到的基本定义.

定义1[16]对t>0，函数x(t)的阶数为α∈R+的分数阶积分定义为

其中，Γ(·)是伽马函数.

定义2[16]对t>0，函数x(t)的阶数为α∈[n-1，n)，n∈Z+的Riemann-Liouville分数阶导数定义为

定义3[16]如果f(t，x(t))是连续函数，那么分数阶微分方程

(1)

等价于以下的第二类非线性Volterra积分方程

(2)

2 算法

2.1 Runge-Kutta型方法简介

Runge-Kutta型方法为单步方法，针对方程

(3)

给出其算法.一般而言，若xn已知，则

xn+1-xn=hΦ(tn，xn，h)，n=0，1，….

(4)

算法的核心在于构造增量函数Φ. Taylor级数展开法是用函……