关注学生基本活动经验，让数学思想落地生根

朱礼娜

【摘要】数学思想与活动经验不是两个孤立的系统，数学基本活动经验为数学思想的落地生根提供了沃土，数学思想同时也丰盈着学生的基本活动经验体系。文章旨在结合具体案例，从系统角度关注学生经验动态积累的不同阶段，重新审视每个课时教学的核心价值，进行相关教学实践尝试，促进学生体悟数学思想，发展数学核心素养。

【关键词】基本活动经验；数学思想；课时教学核心价值

《多边形的面积》是苏教版五上的一个教学单元，本单元教学存在两条教学主线，明线为引导学生经历平行四边形的面积、三角形的面积及梯形的面积的具体推导过程，暗线实为体悟转化的数学思想。只有根植于活动经验的沃土之上，数学思想才能落地生根。如何避免学生推导经验在同一层面的简单重复，促进其数学思想体悟的不断升华，笔者做了以下几点尝试。

一、唤醒已有经验，体会转化思想

学生的学习，总是建构在一定的认知结构与经验之上的。学生在研究图形周长时，已初步积累了等长变形的转化经验；在长方形和正方形面积的拓展练习中，也初步感受了等积变形的转化思想。所以，在《平行四边形的面积》教学中，教师先引导学生回忆长方形的面积推导过程后，直接出示格子纸中的平行四边形，让学生数出面积。

【教学片断1：平行四边形面积的教学】

师：你能数出平行四边形的面积吗？

生1： 生2：

生3：

师：同学们都善于去智慧地数，这3种方法有共同之处吗？

生4：他们都用了剪拼的方法。

生5：他们都是把未知图形转化成了我们已经学过的图形。

师：把未知转化成已知，是我们数学中重要的思想方法。你更喜欢哪一种转化的方法？

生：我更喜欢第3种方法，这样转化更简单。

师：是不是所有的平行四边形都可以转化成长方形？请任意选择一个平行四边形试一试。

1.根植概念本质，以研究单为探究支撑

面积计量的本质是计量其包含单位面积的数量，学生已经经历了长方形和正方形的面积公式的探索过程，积累了单位面积计量的经验。本课教学中，教师设计研究单，出示含单位面积的平行四边形，不满格的认知冲突唤醒了孩子的转化经验，驱动起学生探究的有效展开。

2.进行方法比较，凝练体会转化思想

教师组织学生交流方法，注重引导学生进行方法比较。其一引导学生进行方法类比，“这3种方法有什么共同之处”，使得孩子体会到转化思想的本质这些方法都是将未知图形转化成了已知的图形。其二引导学生进行方法对比，“你更喜欢哪种方法”，在方法优化中使学生将研究的视角聚焦到沿高剪拼的转化方法上。

二、丰盈转化经验，体会推理思想

数学思想与基本活动经验不是两个孤立的系统。学生经历了《平行四边形的面积》课时学习后，体会了等积变形转化思想，这种转化的思想也成为后续探究的基本经验。与平行四边形面积不同，一般三角形的等积变形转化对于学生而言困难得多。教师在设计研学单时，先鼓励学生用自己的方法转化三角形，同时也提供了材料（若干组相同的三角形）支撑学生去探究，以期使不同层次的学生得到不同的发展。学生的方法统计如下（36人，有人使用了多种方法）：

方法 图例 人次

方法1：利用材料，把两个完全相同的三角形拼成平行四边形 25人

方法2：将等腰三角形转化成长方形 9人

方法3：将直角三角形转化成长方形 2人

方法4：将一般三角形转化成长方形 2人

方法5：将一般三角形转化成平行四边形 2人

方法6：将一般三角形两次转化为长方形

1人

不会研究、研究错误 2人

【教学片断2：三角形面积的教学】

生1：我将三角形沿着高剪，能拼成平行四边形形。

生2：这根本就不是平行四边形，这组对边不平行。

生3：上下一组对边不相等，这不是平行四边形。

生4：只有我这样的等腰三角形，才能剪拼成长方形。

生5：我也是将等腰三角形剪拼成长方形的，但方法跟他不一样。

生1图： 生4图：

生5图：

师：还有同学是把直角三角形转化成长方形的。

生6交流：

师：有了这么多的例子，我们是否可以得到结论——任意一个三角形都能转化成长方形？

生7：不可以，因为刚刚同学们转化的都是特殊的三角形，我们应该研究一些普通的三角形。

师：是的，我们只是研究了一些特殊的例子，还不足以得出结论。小组交流，我们还可以用怎样的方法来进行转化？

（小组1交流：

小组2交流：）

重点组织小组3交流：

成员1：我们把全相同的锐角三角形、两个完全相同的钝角三角形拼成了平行四边形。

成员2：我们发现两个完全一样的直角三角形可以拼成平行四边形，也可以拼成長方形

师：你们觉得这组的研究怎么样？

生9：我觉得他们组把所有种类的三角形都研究了，研究得比较全面。

生10：我想对他们组发言做个补充，其实长方形也是特殊的平行四边形。

生11：他们也都是将未知图形转化成已知图形，平行四边形的面积要除以2才是三角形的面积

师：我们将两个完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都拼成了平行四边形，由此推断出任两个完全相同的三角形可以拼成平行四边形。你会选择哪个小组的方法，推导出三角形的面积公式？

生12：我选择第3小组的方法，这种方法更清楚地看出三角形的底是平行四边形的底，三角形的高是平行四边形的高。

生13：我也认为第3小组的方法更好推导，不过要注意最后要把平行四边形的面积除以2。

（学生尝试推导三角形的面积公式，教师组织交流）

师：回忆我们推导平行四边形面积公式的过程，与今天研究三角形面积公式的过程有什么相同之处？

生14：它们都是把我们没有学过的图形转化成我们已经学习的图形。

生15：转化完了之后，我们都要分析转化前后两个图形之间有什么联系。

1.尝试运用，让等积变形经验更为丰满

对于三角形面积公式的推导，有相当一部分学生能运用等积变形的经验将三角形转化为已知图形，其中方法2与方法3是将特殊三角形转化为已知图形，方法4、方法5、方法6的方法是将一般三角形转化为已知图形。这些方法不仅诠释了学生对转化思想的创造性运用，也使得学生对等积变形转化的体验更为丰满。

2.加倍转化，扩展丰盈转化经验体系

大多数学生基于已有经验尝试等积变形失败，原有经验平衡被打破。学生选择利用教师提供的材料进行转化，将两个完全相同的三角形拼成平行四边形，在过程中体会到了加倍转化的价值所在。从等积变形转化到加倍转化，学生对转化思想的体悟逐步走向深厚。与此同时，原有的转化经验体系进一步得到扩展与丰盈。

3.由特殊到一般，让归纳推理更为理性

基于先研后导的教学模式，淡化教师课堂教学的设计痕迹，给学生充分的探究空间，学生先行研究出现了6种方法。其中有6人只进行了等腰三角形到长方形的转化，可见部分孩子将某个特例的转化推导归结为一般情况。基于此，教师组织学生交流方法时，注重对学生的作品进行分层呈現，首先交流等腰三角形、直角三角形的转化，使学生体会到某个特例不能代表一般。接下来，小组进行讨论汇报，重点交流并评价加倍转化方法，学生体会到考虑不同类型的三角形进行转化，使得归纳推理更科学、更严谨。

4.加强理性经验的类比，实现方法层面与思想层面提升性

归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力，主要包括两种方法，归纳法和类比法。在经历了三角形面积公式的推导之后，教师引导学生通过与平行四边形面积公式的推导过程进行类比，分析其共性化的东西，实现了基本数学思想的提升——对转化的深层体悟，也实现了探究方法的提升——先转化，再抓住转化前后图形在底、高、面积上的联系进行推导。

三、灵活运用思想，提升数学核心素养

经历了平行四边形、三角形的面积探究，学生已经积累了丰厚的空间想象、转化、推理的经验。基于此，《梯形的面积》一课教学，教师完全放手，让学生自主转化，自主推理。学生的方法统计如下（36人，有人使用了多种方法）。

方法 图例 人次

①用两个完全相同的梯形拼成平行四边形

30人

②将梯形转化成两个三角形

7人

③将梯形转化成一个三角形与一个平行四边形

3人

④将梯形转化成1个三角形

3人

⑤将梯形转化成长方形

2人

⑥将等腰梯形转化成长方形 1人

⑦不会研究 1人

【教学片断3：梯形面积的教学简录】

师：你是怎么推导出梯形的面积公式的？谁愿意跟大家分享你的研究过程？

生1：我将梯形转化成两个三角形，我们发现梯形的上底就是左边三角形的底，梯形的高就是左边三角形的高。梯形的下底就是右边三角形的底，梯形的高就是右边三角形的高。所以，梯形的面积=上底×高÷2+下底×高÷2

生2：用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。分析推导出公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

生1方法 生2方法

生3方法

生3：我的方法更简单，把梯形转化成三角形。三角形的底就是梯形的上下底之和，三角形的高就是梯形的高。所以，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

（全班响起掌声）

生4：我将梯形直接转化成了长方形，长方形的长，就是梯形的上下底之和除以2，长方形的宽就是梯形的高。所以，梯形的面积=（上底+下底）÷2×高。

生4方法

生7方法

生5：我有个疑问，长方形的长为什么就是梯形的上下底之和除以2呢？

师：这是一个很好的问题，数学学习要保持理性精神多问为什么。

生4：我也说不清楚，感觉是。

生6：哦，我知道了。这有点像我们之前学习平均数时用的移多补少，把下底多的2部分移给上底，长方形的长就是上下底的平均数。（全班响起掌声）

生7：我将梯形转化成一个平行四边形与一个三角形。

分析推导出公式： 梯形的面积=上底×高+（下底-上底）×高÷2

生8：这样转化，推导的公式太复杂了。

师：同学们真了不起想出了这么多种方法，你最喜欢哪一种方法？

生9：我最喜欢第3种的方法，因为他的方法很巧妙，推导过程很简单。

生10：我最喜欢第2种的方法，只要用两个完全一样的梯形就能拼出平行四边形，这种方法很简单，而且很容易找到图形之间的联系。

1.原生探究，自主设计探究过程

本课教学中教师没有提供研究单，“你们准备怎么探索梯形的面积公式”，学生自主设计研究过程。绝大多数学生都能先将梯形转化成已知图形，再寻找转化前后图形之间的联系，推导出公式。

2.基于建模，选择适宜的转化方法

梯形面积的推导，学生的转化途径是多样的，可以将梯形分割转化为已学图形的组合（如方法2、方法3），可以将梯形利用等积变形转化为已学图形（如方法4、方法5、方法6），可以将梯形加倍转化为已学图形（如方法1）。经历公式自主推导的过程，通过方法对比，引导学生体会到转化的落脚点在于建构求图形的面积一般模型（即公式）。基于公式推导，应选择适宜的方法进行转化。

3.运用交流，融合发展数学素养

在原生探究空间中，学生生成了多种富有个性的转化方法，发展了空间想象能力。这些个性化的转化（如方法3、方法4、方法5）也使得转化前后图形之间的关系更为隐蔽，推动着学生进行更为复杂的逻辑推理。学生随机自愿交流各种方法，教师并未进行特定的预设。在自由安全的交流氛围中，生生互动补充、质疑，思维不断走向深刻，数学素养得到了进一步发展。

体悟转化的数学思想是《多边形面积》单元教学的灵魂。基本活动经验为数学思想的落地生根提供了沃土，数学思想同时也丰盈着学生的基本活动经验体系。关注学生不同阶段的经验动态积累，重新审视每个课时教学的核心价值，才能有效地设计相关教学活动。从大问题引领的学生自主探究到无问题引领的学生原生探究，教师对每个课时教学的干预在逐步减弱，学生的数学学科素养却在不断提升。

【参考文献】

[1]史宁中.推进基于学科核心素养的教学改革[J].中小学管理，2016（2）.

[2]郭玉峰，张芳.数学基本活动经验主要成分和层次水平划分的研究[J].数学教育学报，2017（6）.

[3]张卫国.给学生以“思想”附课堂以“灵魂”[J].教学：小学版，2014（3）.