两函数公切线问题
2018-08-09 15:09:42云南省玉溪第一中学653100武增明
中学数学研究(广东)
2018年11期
关键词：思想
云南省玉溪第一中学(653100) 武增明
函数图象的切线问题,一直是高考重点考查的内容,两个函数图象的公切线问题,内涵丰富,是高考命题的一个新热点.这两类问题求解数学思想是一致的,主要是化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想.求解方法也是一致的,主要是:设出切点,利用切点处的导数即为切线的斜率,利用切点在切线上和曲线上联立方程组求解.但是,两个函数图象的公切线问题要比一个函数图象的切线问题复杂得多,灵活得多,难度大得多.下面笔者通过具体实例,归纳、总结两函数图象的公切线问题的类型及求解思想方法.
设曲线C1:y=f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线为l1:y−f(x1)=f′(x1)(x−x1),整理得y=f′(x1)·x−f′(x1)·x1+f(x1).设曲线C2:y=g(x)在点B(x2,g(x2))处的切线为l2:y−g(x2)=g′(x2)(x−x2),整理得y=g′(x2)·x−g′(x2)·x2+g(x2).由于l1与l2是相同的直线,故有x1=g(x2)−g′(x2)·x2.从而可以求出公切线方程.
从上述分析我们还可以看出,曲线C1:y=f(x)与曲线C2:y=g(x)公切线的条数等价于该方程组解的个数.
1 求公切线方程
例1 函数的图象和函数y=3x3的图象的公切线方程为____.
解设两函数图象的公切线的斜率为k,公切线与曲线切于点与曲线y=3x3切于点则所以
由两函数的图象知,x1与x2同号,即x1x2＞0,所以所以
解得
所以k=9,切点为(1,3),所以切线方程为y−3=9(x−1),即9x−y−6=0.
例2 曲线x2=ky与曲线y=lnx的公切线方程为___.
简解
评注(1)若k＞2e,则关于x的方程有两个不等实根,那么两曲线相交,从而两曲线没有公切线(由两函数的图象知),故k=2e.
(2)由上述解答知,两曲线相切,公切线的切点就是两曲线相切的切点.
(4)上述例1的方法对于例2失效!
2 求公切线方程中参数的值……
登录APP查看全文
猜你喜欢
思想之光照耀奋进之路
华人时刊(2022年7期)2022-06-05 07:33:26
思想与“剑”
当代陕西(2021年13期)2021-08-06 09:24:34
艰苦奋斗、勤俭节约的思想永远不能丢
人大建设(2019年4期)2019-07-13 05:43:08
“思想是什么”
当代陕西(2019年12期)2019-07-12 09:11:50
递推思想及其应用
中等数学(2018年3期)2018-08-01 06:42:02
学思想 悟思想 用思想
中国盐业(2018年21期)2018-03-05 08:06:10
把握转化三要素 有效渗透转化思想
数学大世界(2017年31期)2017-12-19 12:29:41
论杨时的“民本”思想
学术论坛(2015年6期)2015-12-24 15:55:10
谈“不战而屈人之兵”思想的积极意义
军事历史(1984年2期)1984-08-21 06:27:08
猜你喜欢
华人时刊(2022年7期)2022-06-05 07:33:26
当代陕西(2021年13期)2021-08-06 09:24:34
人大建设(2019年4期)2019-07-13 05:43:08
当代陕西(2019年12期)2019-07-12 09:11:50
中等数学(2018年3期)2018-08-01 06:42:02
中国盐业(2018年21期)2018-03-05 08:06:10
数学大世界(2017年31期)2017-12-19 12:29:41
学术论坛(2015年6期)2015-12-24 15:55:10
军事历史(1984年2期)1984-08-21 06:27:08
