Grothendieck范畴的斜群范畴

周振强

(厦门理工学院应用数学学院，福建 厦门)

1 预备知识

为了以统一方式研究模范畴和层范畴的同调理论,Grothendieck[1]于1957 年引入Grothendieck范畴.之后,Gabriel[2]进一步发展了该类范畴的相关理论.一个余完备的阿贝尔范畴称为一个Grothendieck范畴,如果 C 满足以下两条性质:

1) 任意短正合列的正向极限仍是短正合列.

2) C 具有一个生成子W,即函子 HomC(W,-) 是忠实的.由于 C 具有直和,该条件等价于：对 C 中的任意对象X,存在一个满态射W(I)→X,其中W(I)是对象W关于指标集I的直和.

(分次)模范畴、预层范畴、拟凝聚层范畴、函子范畴等诸多大家关注的范畴皆是Grothendieck范畴.

斜群范畴是斜群代数模范畴的推广.由Reiten等[3]在研究斜群代数的表示理论时首先引入.粗略地说,斜群范畴是由一个有限群G作用在一个预加范畴 C 上构造出来的新范畴.它的对象是范畴 C 中对象X的在群作用下的轨道的直和项.Reiten等[3]指出:研究范畴C 和斜群范畴 C(G)之间的联系不仅本身具有研究意义,而且从范畴的角度来看,应用斜群范畴这一工具,可使处理模范畴时,思路和脉络更为清晰直观.

本文中遵照文献[3]对斜群范畴的定义.设 C 是一个加法范畴,G是有限群.群G对范畴 C 的一个作用是指一个从G到 C 的自同构群Aut(C) 的群同态.记元素g∈G对对象X的作用为gX,g对态射β：X→Y的作用为gβ.若加法范畴 C 配备了一个有限群G-作用,则称 C 为G-加法范畴.若阿贝尔范畴 C 配备了一个有限群G-作用,则称 C 为G-阿贝尔范畴.

定义1设 C 是G-加法范畴,按如下方式定义范畴 C 的轨道范畴 C[G].C[G] 的对象为 C 中的对象.对任意……