关于多元函数条件极值充分性条件的探讨

欧阳梦倩 衡阳师范学院

1 引言

在某些实际问题中，考察目标函数：

它的变元需满足一定约束条件：

我们需要寻找目标函数（1）在约束条件（2）下的极值，这样的问题称为条件极值。处理条件极值的基本方法为拉格朗日乘数法：首先，构造一个含p个待定乘数的辅助函数

2 极值的充分条件

2.1 约束条件可化为显式方程

假设（1）和（2）中的函数都连续可微，并满足正则条件：

可以从（2）中解出

将（5）代入（1）得：

于是，所讨论得条件极值问题就化成了求目标函数（6）的无条件极值问题。

例1：在已知周长为2p的一切三角形中，求出面积最大的三角形。

考察目标函数

和约束条件

容易得出

则问题转化成无条件极值：

由

2.2 将约束条件看作隐函数

2.3 利用海塞（Hasse）矩阵判别

解：设拉格朗日函数为：

所求稳定点为极小值点，且为最小值点。

判别方法二：由海塞矩阵：

为正定矩阵知稳定点即为极小值点，且为最小值点。

3 总结

拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值一种常用的方法，利用其求出稳定点后，如何确定稳定点为极值点，应视具体问题而定。