提升空时自适应检测性能的多输入多输出雷达稳健波形设计

刘玉春, 王洪雁

(1.周口师范学院机械与电气工程学院, 466001, 河南周口; 2.大连大学信息学院, 116622, 辽宁大连)

多输入多输出(MIMO)雷达以其优越的性能吸引了科研界的注意[1]。与传统相控阵雷达只能发射相干波形不同,MIMO雷达可发射几乎任意波形,这也被称为波形分集[1]。MIMO雷达可以通过设计发射波形以获得波形分集,从而改善雷达系统的目标检测[2]及参数估计[3]性能。为了改善空时自适应处理(STAP)方法[4]的检测性能,文献[5]通过设计波形相关矩阵,最大化输出信干噪比。需要注意的是,设计发射波形需要利用场景及目标的先验知识,而此先验知识只可通过估计得到,因而不可避免地会存在估计误差,进而基于所得非确知先验信息而获得的优化发射波形会严重影响MIMO雷达的目标检测及参数估计性能[6]。因此,提升STAP检测概率稳健性的波形设计成为了MIMO雷达领域的研究热点。

为提升MIMO雷达监测性能,正交频分复用(OFDM)技术[7]以及STAP技术[8]被引入MIMO雷达领域。OFDM雷达可利用多个正交子载波并行检测目标,因而可克服频率选择性衰落;STAP技术可有效改善低速目标检测性能。文献[9]通过设计OFDM波形以消除MIMO雷达系统中的干扰,进而改善STAP的检测性能。由文献[8-9]知,通过将OFDM波形引入MIMO雷达系统,可显著提高STAP方法的检测性能。基于此,文献[10]通过设计OFDM波形以改善MIMO雷达目标检测及跟踪性能。然而,上述方法所得优化波形受非确知先验信息影响较大,会导致目标检测及追踪稳健性能恶化。

针对此问题,文献[11]提出了改善MIMO-STAP检测性能的稳健波形设计方法。然而,此方法没有考虑发射波形的物理约束,比如恒模特性等。文献[12]则考虑了目标先验信息未确知场景下改善STAP检测性能的稳健波形优化方法,此方法假设系统噪声为空时不相关,但在实际应用中,接收阵列阵元之间由于互耦效应通常存在空域相关[6]。此外,此方法亦没有考虑发射波形的物理特性。需要注意的是,文献[11,12]所提稳健波形设计方法皆未利用OFDM的频率分集优势以改善系统性能。

基于上述问题,为降低STAP检测概率对杂波协方差矩阵估计误差的敏感性,本文提出一种基于MIMO雷达的OFDM稳健波形优化方法。为改善最差情况下STAP检测概率的稳健性,在杂波协方差矩阵不确定凸集以及波形恒模约束下,本文通过杂波协方差矩阵设计发射波形以最大化最差情况下输出信干噪比,进而改善STAP方法检测概率的稳健性。为求解所得非线性问题,先将非凸恒模约束松弛为低峰均比凸约束,而后提出一种基于对角加载[13]的迭代方法。所提迭代方法中每步都可松弛为半定规划问题,从而获得高效求解[14]。

1 问题描述

本文所用模型描述如下:分别具有M、N个阵元的发射接收阵列平行放置,相邻阵元间距分别为dT、dR;高度为h的雷达以速度v平行于收发阵列运动,目标则以速度vt向雷达运动。类似于文献[7],每个发射阵元发射一个OFDM子带信号。脉冲重复周期(pulse repetition interval, PRI)为T的L个脉冲构成一个相干处理周期,则第l个PRI中第n个阵元的接收数据可表示为

dtm+2vt)]+2πfm}dθ+zn,l

(1)

式中:sm=αm⊙φm为第m个阵元发射的离散基带复信号,αm=[αm1,αm2,…,αmK]、φm=[φm1,φm2,…,φmK]分别为信号幅度及相位,其中‖φm‖2=1,K为采样数目,⊙为Hadamard积,‖·‖为范数;fm=f0+mΔf,f0为载频,Δf为子带间隔;ρt及ρ(θ)分别为目标及杂波幅度;λ、zn,l分别为载波长和干扰加噪声项。

离散化杂波,经过下变频,式(1)可重新表示为

dtm+2vt]}+zn,l

(2)

式中:NC为杂波采样数。令fs=dRsinθt/λ,fD=2(vsinθt+vt)T/λ,fsi=dRsinθi/λ,γ=dT/dR,β=2vT/dR,则基于式(2),第l个PRI内接收数据可表示如下

Xl=ρtexp{j2πfDl}abTS+

⊗IN)(b⊗a)+

基于式(4),可得全部空时快拍如下

ρt(IL⊗Φ⊗IN)(uD⊗b⊗a)+(IL⊗Φ⊗

式中:uD=[1,exp{j2πfD},…,exp{j2π(L-1)·fD}]T及uD,i=[1,exp{j2πfD,i},…,exp{j2π(L-1)·fD,i}]T分别为位于θ的目标以及θi的杂波块的多普勒导向矢量。

根据最小方差畸变准则[5],最优信干噪比可表示如下

⊗Φ⊗IN)(uD⊗b⊗a)]H·

(6)

其中

(7)

(IL⊗ΦH⊗IN)H+IL⊗IM⊗Q=

(IL⊗Φ⊗IN)VΞVH(IL⊗ΦH⊗

IN)H+IL⊗IM⊗Q

(8)

将式(8)代入(6),可得

RSIN=|ρt|2[(IL⊗Φ⊗IN)(uD⊗b⊗a)]H·

[(IL⊗Φ⊗IN)VΞVH(IL⊗Φ⊗IN)H+IL⊗

IM⊗Q]-1[(IL⊗Φ⊗IN)((uD⊗b⊗a)]=

|ρt|2(Avt)H(ARCAH+QC)-1(Avt)

(9)

式中:QC=IL⊗IM⊗Q≻0;RC=VΞVH0;A=IL⊗Φ⊗IN。

根据矩阵求逆定理[16],式(9)重新表示如下

计算式(10)需要vt、RC等参数值。然而,实际中上述值须经估计得到,因而存在不确定性,进而所得检测概率可能对参数估计误差比较敏感,此现象已在文献[5-6]中由仿真表述。本文仅考虑杂波协方差矩阵,即RC的影响。

需要注意的是,实际中雷达波形应具有恒模特性以使得发射机处于饱和状态从而避免非线性效应。

式中:Cm为第m个波形幅度;P为总发射功率。

2 基于对角加载的迭代方法

由于问题式(12)中存在波形恒模约束,因此成为NP-hard问题[13]。此类问题不宜采用诸如凸优化等传统方法求解[14]。根据文献[17],具有有限符号集的恒模信号不能较好满足波形设计需求。因此,类似于文献[18],恒模约束可利用如下低峰均比代替,即

基于式(13),式(12)可以重写为

由于|αm(k)|=Cm,式(14)可以重新表示为

≻0

(17)

基于式(18),式(16)中内层优化问题可等价为

式中:t为辅助优化变量。

基于Schur补定理[15],式(19)可表示为如下半定规划问题

≻0

(21)

类似于内层优化,式(23)可等价为如下半定规划问题

其中:t为辅助优化变量。

由文献[19]可知,半定规划的优势是可以通过快速数值方法在多项式时间内以任意精度收敛至全局最优值,因而式(20)及式(24)可获得高效求解。本文利用凸优化技术对这2个问题进行高效求解。

基于上述讨论,类似于文献[20]所提算法3,本文提出一种基于对角加载的迭代算法以设计发射波形,从而最大化最差情况下的输出信干噪比,进而改善STAP检测概率相对于杂波协方差矩阵估计误差的稳健性能,所提算法可描述如下:

(1)给定发射波形初始值;

(2)求解式(20)以得到最优ΔRC;

(3)求解式(24)以得到最优‖αm‖2;

(4)重复步骤2和3,直到相邻2次迭代最差输出信干噪比差别不明显(本文仿真部分采用如下迭代终止条件‖RSIN(i)-RSIN(i-1)‖≤10-2,其中i为迭代步数);

(5)基于所得最优‖αm‖2,可通过文献[21]提出的随机化技术得到最终可发射波形。

3 仿真及分析

(a)MIMO雷达A (b)MIMO雷达B图1 发射波束方向图

采用本文方法、非相关波形方法及非稳健方法所得平均最差情况下输出信干噪比随阵列信噪比或杂噪比变化曲线如图3所示。由图3可知,与非相关波形及非稳健方法相比,本文方法具有较高的平均最差情况下输出信干噪比,也即本文方法具有较好的稳健性。

(a)雷达A与阵列信噪比的关系

(b)雷达B与阵列信噪比的关系

(c)雷达A与杂噪比的关系

(d)雷达B与杂噪比的关系图2 3种方法在最差情况下的检测性能对比

为检验对角加载因子对最差情况下输出信干噪比的影响,阵列信噪比和杂噪比均为30 dB条件下,本文方法得到的最差情况下输出信干噪比随ε或者ρ变化如图5所示。由图5可知,本文方法所得输出信干噪比随对角加载因子与波形相关矩阵或者杂波协方差矩阵最大特征值比值波动非常明显,表明对角加载因子对输出信干噪比影响较大。

(a)雷达A与阵列信噪比的关系

(b)雷达B与阵列信噪比的关系

(c)雷达A与杂噪比的关系

(d)雷达B与杂噪比的关系图3 3种方法在平均最差情况下的稳健性能对比

(a)雷达A (b)雷达B图4 最差情况下输出信干噪比随σ的变化情况

另外由图5可知,当ε=λmax(Ψ)/1 000及ρ=λmax(RC)/1 000时,可得到较优输出信干噪比,这也是本文对角加载因子取值的原因。

(a)雷达A随ε变化 (b)雷达A随ρ变化

(c)雷达B随ε变化 (d)雷达B随ρ变化图5 本文方法的输出信干噪比随ε和ρ的变化关系

(a)雷达A (b)雷达B图6 本文方法的输出信干噪比随迭代次数的变化情况

最后,为验证所提基于对角加载迭代方法的收敛性,图6刻画了最差情况下输出信干噪比随迭代次数的变化。由图6可知,不论MIMO雷达A或B,本文方法大约经过9次迭代就可以收敛。另外,由本文方法所得到的最差情况下输出信干噪比为关于迭代次数的非下降函数。

4 结 论

通过将杂波协方差矩阵不确定凸集包含进波形设计问题,本文研究了环境先验知识未确知条件下稳健波形优化问题。在波形恒模特性及杂波协方差矩阵不确定凸集约束下,构建稳健波形设计问题。为求解所得非线性问题,在将恒模约束松弛为低峰均比约束基础上,本文提出一种基于对角加载的迭代方法。基于对角加载方法,稳健波形设计中内外层子优化问题在每步迭代内都可转化为半定规划问题。与非相关波形及非稳健方法相比,本文方法可显著改善MIMO雷达检测概率的稳健性。