基于推广超分位数的多随机因素两阶段联合优化调度

黄华，李琦，陈宝平，常湧，程冉

(武汉大学 电气工程学院，武汉430072)

0 引 言

以风电、光电为代表的可再生能源具有无污染物排放、不消耗能源的优势，越来越多地渗透到电力系统中。但是风电和光电出力主要受自然条件的影响，具有较强的间歇性和随机性，电力系统的功率平衡受到了干扰。传统的火电机组在发电时会产生以二氧化碳为代表的污染物，严重影响了环境。将传统的火电机组加以改造，引入碳捕集系统，形成碳捕集电厂(Carbon Capture Plant),对产生的二氧化碳进行捕捉和封存，是减少污染物排放的有效有段。碳捕集机组的收益直接受碳排放权价格和电价的影响，在以往的研究中将碳排放权价格和电价视为固定的常数，而在实际电力市场中，碳排放权价格和电价都具有一定的波动性。电动汽车清洁性高，V2G技术为车主和电网建立了双向互动的桥梁，电动汽车具有了充电负荷和放电电源的双重角色，可以促进可再生能源的并网。采用静态分时电价虽然可以引导电动汽车改善负荷曲线，但是有可能产生新的高峰。因此，如何制定合理的电价机制，研究多种随机变量的联合作用对电力系统生产和调度的影响，是非常值得进一步研究的问题。

对于分时电价下的电动汽车和随机因素对电力系统的影响问题，相关学者已经取得了一定的研究成果。文献[1]用k均值聚类算法对时段进行划分，该分类方法属于硬分类，对于无法准确确定归属的数据难以处理。文献[2-3]用基于模糊关系的传递包方法对时段进行划分。文献[4]提出了机会约束方法，其应对随机变量时具有良好的处理能力，但是其求解过程较为复杂。文献[5]提出了条件风险理论来处理不确定因素对经济性的影响，但是无法验证该理论是否适用于电力系统领域。文献[6]考虑了负荷、发电机和网络结构不确定性对结果的影响，但是侧重于考虑随机因素本身的影响。文献[7]将超分位数方法应用到碳捕集机组场内优化运行当中，但是该文献侧重于对单个随机变量的描述，而现有的电力系统问题中，随机变量往往并不是单一的，在应对多种随机变量的联合作用时可能无法处理。文献[8]提出了考虑风、光、荷联合作用的优化调度模型，但是没有考虑电价的波动性和碳排放权交易的背景。

针对上述研究的不足，提出了基于动态分时电价并考虑多种随机因素的两阶段联合优化调度模型，分别建立了风电、光电、碳排放权价格和电价的概率分布模型，用模糊聚类分析解决峰谷时段划分，用推广的超分位数方法处理多重随机因素的联合作用，并对相关的参数进行敏感度分析，改变参数的取值以分析其对结果的影响。

1 模糊C均值聚类

聚类分析通过一定的标准将一组对象分为若干类，每个类别内部元素有一定的相似性。最初的聚类分析是硬分类方法，对事物的处理非此即彼。然而有的对象无法准确判断其归属，将模糊集理论引入到聚类分析当中，可以更好地处理数据的归属问题。模糊C均值聚类是一种基于目标函数优化的模糊聚类分析方法，用隶属度表征对象的相对归属性。因其对初始聚类中心要求不高，处理复杂分类问题时更为合理而得到了广泛应用。首先建立规划模型：

(1)

(2)

(3)

用拉格朗日乘数法处理目标函数得：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中n为数据的个数；c为分类数；uik为第k个数据隶属于i类的程度；dik为数据k与聚类中心i的距离；A为对称正定矩阵；m为模糊加权指数。

2 推广的α超分位数方法

超分位数方法是Rockafellar R.T.和Royset J.O.在2009年提出的一种可以有效处理随机问题的方法[9]。它满足一致性公理、具有次可加性和凸性，解决了α分位数的缺陷。它代表的是一种平均水平，可以精确衡量潜在的风险，能将含随机变量的复杂规划问题进行简化求解。α超分位数定义为：状态函数不低于分位数条件下的期望值。超分位数方法刚提出时用于解决单个随机变量问题，现在将该方法推广以处理多个随机变量问题。

设决策变量x∈X⊂Rn，随机变量w∈Rm，v∈Rl，u∈Rs，y∈Rk，设状态函数为g(x,w,u,v,y)，w、v、u、y的联合概率密度函数为ρ(w,u,v,y)，则状态函数不超过阈值β的分布函数为：

ψ(x,β)=∬∬ρ(w,v,u,y)dwdvdudy,

g(x,w,v,u,y)≤β

(8)

设置信水平为α，则分布函数的α分位数为：

qα(x)=min{β∈R,ψ(x,β)≥α}

(9)

α超分位数定义为超过α分位数条件下状态函数的期望值：

(10)

z0}ρ(w,v,u,y)dwdvdudy

(11)

式中的积分项难以计算，对式(11)进行转化：

(12)

通过样本均值对上式进行估计，采用蒙特卡洛随机抽样，设各随机变量的样本分别为(w1,w2,...,wm)，(v1,v2,...,vl)，(u1,u2,...,us)，(y1,y2,...,yk)，则有：

(13)

由于式(13)中含有非光滑函数，仍然难以直接求解，再次引入中间变量：

z=max{0,g(x,wj,vr,uo,yq)-z0}

(14)

对式(14)中的等式约束进行松弛处理，可以得到最终的优化模型：

z≥g(Pevt,Pwtj,Pstr,Cto,Stq)-z0

z≥0,j=1,2,...,m;r=1,2,...,l;

o=1,2,...,s;q=1,2,...,k

(15)

3 两阶段联合优化调度模型

3.1 风速分布函数

风电出力大小受风速直接影响，相关研究表明，风速服从Weibull分布、正态分布或Rayleigh分布。由于后者使用的更多，文中假设风速服从Rayleigh分布[10]：

(16)

式中v为风速；σw为分布参数。

风电出力与风速的关系可以由分段函数来表示：

(17)

(18)

式中vt、vi、vr、vo分别为t时段的风速、切入风速、额定风速和切出风速；PN为风机额定功率。

3.2 光照强度分布函数

光电出力大小直接受光照强度影响，相关研究表明，某时刻光照强度服从Beta分布[11]。光照强度概率密度函数为：

(19)

光电出力与光照调度的关系可以表示为：

Pst=rtηsA

(20)

式中ηs为光电转换效率；A为光电电池方阵的总面积。

由于光电出力与光照强度呈线性关系，因此光电在某一时段出力也服从Beta分布：

(21)

3.3 碳排放权价格分布函数

相关的碳政策规定当系统的CO2排放量超标时，会给予对应的经济惩罚，而排放量较低时，可以将多余的额度拿到电力市场出售。每个发电系统有自己的碳排放额度，含碳捕集电厂系统的碳排放权收益可以用以下模型描述：

(22)

(23)

Ei(PGit)=δiPGit

(24)

(25)

(26)

(27)

碳捕集电厂在原有火电厂的基础上引入碳捕集系统，碳捕集系统能够对产生的CO2进行捕捉和封存，等效于减少了系统的CO2排放量[12]。碳捕集电厂的数学模型为：

E′=E-Ec

(28)

g′=g-gN

(29)

Ec=γE

(30)

E=δg

(31)

gN=αEc

(32)

(33)

式中E′为机组的等效CO2排放量；E为机组发电总的CO2产生量；Ec为机组的CO2捕集量；g′为机组的净出力；g为机组的实际出力；gN为用于捕捉CO2而损耗的出力；γ为机组的CO2捕集率，其取值一般在85%～95%之间[12]；δ为机组的单位电量碳排放强度；α为捕集单位CO2所损耗的能量。

碳排放权价格受许多因素的影响，波动性较大，相关研究用AR-GARCH模型来描述其分布规律[13]：

(34)

式中Ct为第t日的碳排放权价格；Rt为收益率；ut是服从正态分布的随机变量，均值为0,方差为有限值；δt、σt为中间变量，其它参数均为常数。

若已知t-1,t-2,t-3日的碳排放权价格，可以根据上式求出δt-1和σt-1，进一步可以求出t日的碳排放权价格：

(35)

由于式中存在随机变量，这就决定了碳排放权价格也是按照某种规律分布，具有一定的波动性，设Ct和ut满足如下的函数关系：

Ct=h(ut)

(36)

3.4 电价分布函数

电力市场受随机因素的影响，电价难以准确确定。原有的研究都假设电价服从正态分布，但是近年来越来越多的研究发现电价的分布呈现“尖峰厚尾”的特点，这表明电价并不是服从简单的正态分布，但其本质上还是一种正态型曲线，此处用加权双高斯模型来更加精确地刻画电价分布特性[14]：

(37)

式中w1、w2为权系数；μ1、μ2分别为两个正态分布的期望；σ1、σ2分别为两个正态分布的标准差。

3.5 两阶段优化调度模型

风电和光电有较强的波动性，电动汽车入网可以协调这些能源的并网，并且可以与电网双向互动。电动汽车在一天中有90%的时间处于停驶状态[15]，可以作为电源被电网调度。在调度周期内的t时段可供调度的电动汽车数量Navt可以表示为：

Navt=Nevpparkt

(38)

式中Nev为电动汽车的总数量；pparkt为时段t电动汽车停驶的概率。

电动汽车在时间段t不仅要与电网互动，自身的行驶还需要消耗一部分能量，其在相邻时间段的电池容量关系可以用下式来描述：

(39)

通过价格机制引导电动汽车可以促进削峰填谷，但是现有电价机制难以反映实际供需状况，静态分时电价可能会产生新的负荷高峰。在这里采取动态分时电价机制，动态分时电价是指高峰、低谷电价固定，而峰谷时段变化的电价机制[16]。第一阶段根据负荷曲线和风电、光电出力的预测值，按照第1节提出的方法对峰谷时段进行有效划分，其中分类数为3类，聚类中心分别取负荷最高峰、最低谷和居中的负荷值。

在此基础上，第二阶段对多重随机因素的调度问题进行优化。碳捕集机组的成本和常规机组的成本类似。风电和光电出力具有不确定性，当实际出力大于计划出力时，造成弃光、弃风，实际出力小于计划出力，需要增加额外的备用容量，对该偏差引入惩罚系数来衡量不确定因素造成的损失。电动汽车的充放电成本值为正时，表示电动汽车向电网放电，电网需要向车主支付相应的费用。电网总成本的目标函数可以表示为：

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Fev=StPevt

(45)

由上述分析可以得到风电功率与风速、光电出力与光照强度、碳排放权价格与ut以及电价本身之间的关系：

(46)

其逆变换的雅克比行列式为：

若风速、光照强度、ut和电价的联合概率密度为f(vt,rt,ut,St),则风电出力、光电出力、碳排放权价格和电价的联合概率密度为：

(47)

现用推广的α超分位数方法对上述模型进行变换，状态函数为：

g(Pevt,Pwt,Pst,Ct,St)=Fw+Fs+Fev+F1

(48)

状态函数不超过阈值β的分布函数为：

ψ(Pevt,β)=∬∬ρ(Pwt,Pst,Ct,St)dPwtdPstdCtdSt,

g(Pevt,Pwt,Pst,Ct,St)≤β

(49)

设α为给定的置信水平，则分位数为：

qα(Pevt) =min{β∈R,ψ(Pevt,β)≥α}

(50)

其超分位数刻画为：

(51)

引入中间变量：

(52)

为了对上述式子进行估计，再引入中间变量，其中Pwtj、Pstr、Cto、Stq为各随机变量的样本。

z=max{0,g(x,Pwtj,Pstr,Cto,Stq)-z0}

(53)

松弛上述等式约束，目标函数变为：

(54)

约束条件为：

(1)系统约束

(55)

(2)常规机组和碳捕集机组约束

(56)

(3)电动汽车

(57)

(4)超分位数约束

z≥g(Pevt,Pwtj,Pstr,Cto,Stq)-z0

z≥0,j=1,2,...,m;r=1,2,...,l;

o=1,2,...,s;q=1,2,...,k

(58)

式中PLt为t时段总的负荷量；PGimin、PGimax分别为常规机组i的出力下限和上限；rGiup、rGidown分别为机组i出力上升速率和下降速率上限；PCjmin、PCjmax分别为碳捕集机组j的出力下限和上限；rCjup、rCjdown分别为碳捕集机组j出力上升速率和下降速率上限；Ru、Rd分别为系统的正、负旋转备用率；αev和βev分别为电动汽车电池容量下限和上限系数；qevmax为电动汽车电池最大容量；pc、pd分别为电动汽车充放电功率。

4 算例分析

4.1 算例系统参数

采用6台常规机组[17]、10 000辆电动汽车、10单位风机和光伏发电系统参与调度的算例来进行分析，调度周期为一天24 h，将机组6改造为碳捕集机组。电动汽车参数、停驶概率和负荷参数如表1、图1、表2所示。风电机组参数、光伏发电系统参数、分布参数、风速和光照强度参数参考文献[18]。α取0.31(MW·h)/t，η取0.798，γ取85%，正负旋转备用率取5%，风电和光电的惩罚系数取200元/(MWh)，待优化日前三天的碳排放权价格依次为140元/t、105元/t、119元/t,基础置信水平取0.90。

表1 电动汽车参数Tab.1 Parameters of electric vehicle

图1 电动汽车停驶概率Fig.1 EV parking probability

表2 系统基础负荷Tab.2 Basic loads of system

4.2 不同模式的结果

根据第一节的方法对峰谷时段进行划分，其中峰时段为8:00～14:00、19：00～21:00，谷时段为22:00到次日5:00、15:00～18:00，其余为平时段。现在定义3种模式：模式1，同时考虑所有随机因素的波动；模式2，不考虑电价的波动性；模式3，不考虑碳排放权价格波动性。模式1和模式2电动汽车在调度周期的总出力(MWh)如表3所示，模式1和模式3常规机组和碳捕集机组在调度周期内的总出力(MWh)如表4所示。

表3 电动汽车出力Tab.3 Output of electric vehicles

表4 机组出力Tab.4 Output of units

表3中电动汽车总出力为负表示电动汽车充电电量有一部分用于自身消耗，一部分用于放电调度。从表中可以看出在考虑电价的波动性后，电动汽车的充电电量增加，电网用于支付电动汽车的成本降低，这表明为了应对电价的波动性，电力市场及时响应电价的变化，调整电动汽车的出力，这样使得目标函数趋于最优。

系统中的常规机组和碳捕集机组会向环境中排放二氧化碳，这些决策变量在目标函数中也与随机变量碳排放权价格直接相关。从表4可以看出考虑碳排放权价格波动性时，常规机组和碳捕集机组的出力都有所降低，这表明在碳交易市场背景下，为了响应碳排放权价格的波动性，调度决策会及时调整与其相关的变量来保证总的成本最低，在这里通过降低常规机组出力来降低碳交易成本。考虑电价和碳排放权波动性得到的结果与电力市场的实际情况更为接近，说明了模型的合理性。

4.3 置信水平的影响

置信水平决定了调度结果的可靠度，不同置信水平对结果的影响不同，图2给出了在不同置信水平下总成本值的变化情况，基础置信水平取0.90，其它置信水平分别取0.92、0.94、0.96、0.98、1。

从图2中可以看出，随着置信水平的增大，系统的总成本逐渐增加。置信水平决定了调度中随机因素的波动情况，置信水平越高，系统供电可靠性越高，能够在供需紧张时第一时间提供所需的电能，这时的电能会比平时具有更高的价值，电价会升高，也就是说在提高系统可靠性的同时需要付出经济性成本。

图2 置信水平对成本影响Fig.2 Effect of confidence level on cost

4.4 电价波动水平影响

峰谷电价对电动汽车的行为有一定的引导作用，为了研究这一作用的程度，现定义3种情形：峰谷电价相对于平时段的电价浮动分别为20%、30%、40%，各个时段电价本身也具有波动性，如图3所示。

图3 电价对电动汽车出力影响Fig.3 Effect of power price on EV outputs

电价浮动越大时，谷时段电价越低，峰时段电价越高。谷时段电价低，充电成本低，电动汽车用户越希望在谷时段尽可能让电动汽车充电；峰时段成本高，放电利润越大，这种趋势可以让电动汽车放电获取更多的收益。从图中看出，情形2和3相比基本情形来说，谷时段充电功率和峰时段的放电功率都增加，这说明电价的改变可以有效地刺激电汽车的充放电行为。

5 结束语

将模糊C均值聚类用于峰谷时段划分，结果更为合理；提出了推广的超分位数方法用于处理含多种随机变量的问题，将复杂的非线性规划问题进行简化，使得问题易于求解。分析了随机因素波动性、置信水平、电价浮动程度对于调度结果的影响，结果表明，考虑变量随机性的模型更符合实际情况，置信水平和电价对调度结果均有一定的影响，不仅说明了模型的合理性，也为电力系统的调度决策提供了参考。