在概念新知课教学中灵动演绎“教学环”理念

于成宽　卢瑞庚

“教学环”理念将新知课的课前、课中、课后串连成一个有机的整体，成为学生在不同学习阶段学习和探究新知的时空表征.构建“教学环”，有助于教师从时空观下基于学情对教学内容进行梳理和次递呈现，进而推动学生新知的自主形成和螺旋上升.我们认为，时空观下内容呈现方式的拓展不仅符合学生的认知规律，而且有助于学生在数学学习的过程中形成由“感”到“思”、由“思”到“悟”的学习印迹.数学概念新知课教学，需要教师采用环环相扣的教学策略，指引学生不断调动认知结构中的已有知识和经验，次递加深对概念的感知和理解，进而通过思维加工产生“认识飞跃”，最终在头脑中呈现完整的概念图式.下面，笔者以人教版必修1第三章第一节《方程的根与函数的零点》的教学为例，介绍“教学环”理念在高中数学概念新知课中的具体应用.

一、在设计层面构建“教学环”，引导学生科学预习，奠定概念学习的扎实基础

构建“教学环”，始于教师的导学提纲设计.教师在课前设计概念学习的导学提纲，需通盘考虑概念学习策略在课前、课中、课后三个不同学习阶段的持续推进.

（一）概念课教学设计的基本思路

数学概念的学习存在着程度深浅的差异.英国数学教育与心理学家理查德·斯根普（Richard Skemp）在其《数学学习心理学》一书中，将人们对概念的理解层次划分为工具性理解、关系性理解和形式性理解三种不同的水平.所谓工具性理解，指的是会运用概念判断某一事物是否为概念的具体例证，但并不清楚该概念与相关概念的联系；关系性理解，指的是不仅能用概念做判断，而且能将该概念纳入到概念系统中，与相关概念建立联系；形式性理解，指的是在数学概念术语符号和数学思想之间建立起联系，并用逻辑推理构建起概念体系和数学思想体系.在高中阶段，通过数学阅读的方式进行概念学习，对于大多数学生而言，其理解水平通常止步于工具性理解水平，要想达到关系性理解和形式性理解水平，需要教师科学、有效的指导.

针对本课概念学习，要让学生在课前任务导读中达到工具性理解水平，教师设计导读提纲的关键在于，让学生理解“方程的根”与“函数的零点”虽有密切联系但仍有重要区别，不可混为一谈.而要想让学生达到关系性理解和形式性理解水平，洞悉函数零点以及求方程的根的确切意义，须在导读和教学过程中逐渐渗透并不断强化数学实验的内容，比如安排学生用几何画板工具自行设计解决问题的方案，学会利用函数图象和数形结合的思想方法解决函数的零点问题等.数学实验是学生运用有关工具，在数学思维参与下进行的一种以人人参与实际操作为特征的数学验证或探究活动.实施数学实验活动便于学生形成数学学习的积极印象和相应的感官体验，从中获取构建数学概念所需的第一手感性材料，为探究数学规律寻求具体、直观的数形基础，发展直观想象能力，进而深刻领悟数学概念的内涵.

（二）学生课前预习中的数学阅读与理解

在“教学环”理念中，学生课前预习作为教学过程的第一个重要环节，它是在教师指导下“任务导读作业化”的课前预习，主要包括数学阅读和数学练习两项内容.根据概念课导读提纲设计的基本模型，我们为本课概念学习设计了如图1所示的导读任务.

《方程的根与函数的零点》这个教学内容，重点是让学生通过研究二次函数的图象，学会判断一元二次方程的根的存在性及根的个数，由具体到一般，逐渐建立起一元二次方程的根与相应的二次函数零点的联系.函数零点存在性定理为本课学习的重点和难点.教材通过引入客观实例、抽象共性特征、概括本质特征的过程引出相关数学概念，依次呈现了下面的内容：观察具体的二次函数图象，从研究二次函数的图象特征过渡到研究二次函数的代数形式，再通过几何直观和归纳推理，最终得出连续函数零点存在性定理.本课导读提纲设计，旨在让学生通过数学阅读和实验，完成对新概念的初步学习和理解，实现从几何直观到代数抽象的初步感知.

二、在课堂教学活动中灵动演绎“教学环”理念

新知课课堂教学模式主要包括情境引入、提问讨论、重点讲解、应用探究、反思总结、布置作业6个教学环节.鉴于学生的课前预习已经在新知学习的情境当中，对课堂上要学什么、怎样学基本已经心中有数，课堂教学在经历简单的“情境引入”后便可直接进入“提问讨论”环节了.

（一）检验课前阅读实效，引导学生对概念内涵与外延进行辨析和内化

师：根据课前阅读，谁来说说一次函数[f（x）=2x-4]的零点？

生：函数[f（x）=2x-4]的零点是2.

师：那二次函数[f（x）=x2-2x-3]的零点呢？

生：是[-1]和3.

先簡单提问一个一次函数和一个二次函数的零点，意在检验全体学生在数学阅读中对零点概念的工具性理解水平，确保学生已经学会运用概念来判断某一事物是否为概念的具体例证，同时在学生头脑中留下函数的零点与方程的解之间相互关联的感性印记，为概念理解层次的提升做铺垫.

师：谁来说一下函数零点的概念？

生：我们把使[f（x）=0]的实数[x]，叫做函数[y=f（x）]的零点.（生答，师板书）

师：观察方程[f（x）=0]的结构特征，你联想到了哪些曾经学过的知识？

生1：函数[y=f（x）]在[y=0]时的解.

师：那么，[y=f（x）y=0]和[f（x）=0]是同一个含义吗？

生1：是的.

生2：不是.

师：为什么不是同一个含义？有什么区别？

生2：[y=f（x）y=0]可以看作是方程组，它的解是含有[x，y]的一组数对；[y=f（x）y=0]也可以看作是两个函数解析式联立得到的交点（[x，y]）；而[f（x）=0]是一个方程，它的解是一个数.他们的联系是，方程组的解中的[x]值，函数图象与[x]轴的交点横坐标[x]，与[y=f（x）]零点的值一样.

师：函数零点、点的坐标和二元方程组的解不是一回事，但它们有联系……（停顿，等待学生思考和内化）好了，现在请大家分别画出函数[f（x）=2x-4]和[f（x）=][x2-2x-3]的图象并体会零点在画出函数图象中的作用.

在“提问讨论”环节，我们倡导多维度、多方向、多形式对话，低起点、步步为营是基本教学策略.以上师生、生生对话，对概念内涵的辨析越来越深刻、对概念间关系的理解越来越清晰，学生在概念学习中从工具性理解上升到关系性理解，不仅能用概念做判断，而且能将函数零点概念纳入到概念系统中，与相关概念建立联系，并能用适当的数学符号对其进行描述；要求学生画出图象，是希望学生能把“数”和“形”融合起来，为后续通过“数”和“形”判定零点存在做铺垫，同时暗示学生，当从“数”的角度思考问题解决方案遇到困难时，可以尝试从“形”的角度去寻求问题解决的突破口.

（二）通过对数学实验方案的交流与讨论，引导学生进一步加深对相关概念的理解

数学实验活动设计，隐含在课前导读提纲之任务2的问题解决过程当中，用来加深学生对概念理解的水平，这也是需要教师“重点讲解”的知识内容.

师：函数[f（x）=x2+x-2]有几个零点？说说你们的解决方案.

生3：我的方案有两个.一个是解出方程的两个解[x=-2]，[x=1]；另一个是直接用二次方程的判别式判定就好，不用具体求解.

师：那函数[f（x）=ex+x-2]有几个零点？你们设计的解决方案是怎样的？

生4：只要画出图象，看看函数[y=ex+x-2]的图象与[x]轴的交点情况就行.我的答案是只有一个零点.

师：那你是怎么画出这个函数的图象的？

生4：仿照课本，运用描点法画出图象.

师：你描出了很多点吗？或者所有点？

生4：没有.

师：如何判定除了那一个外没有别的零点了？

生4：……

生5：我发现函数[f（x）=ex+x-2]是个增函数.当[x=0]时，[y=-1<0]；当[x=1]时，[y=e-1>0].可见，函数值有正数，也有负数.那么，这个函数一定会有一个与函数值0相对应的[x]，它就是函数的零点.

师：好！下面请大家看看刚才那两个函数的图象，回答下面的问题.（课件出示问题，如图2）.结合刚才生5的回答，你们能得到什么结论？（教师在发现问题后不可越俎代庖告知正确答案，可以让学生尝试用自己的语言去归纳，在逐步完善中经历“发现”正确结论的过程）

生：（齐答）不能判定它是否存在零点，更无法判定有几个零点.

师：结合生8和生9的回答，我们能够得到的结论是什么？（停顿，给学生思考的时间）

生：（齐答）零点存在定理只能判定函数有零点，不能判定函数没有零点，更不能判定有几个零点.（师板书学生得出的结论）

在学生“归纳”出零点存在性定理后，课堂进入“应用探究”和“反思总结”环节.学生在思辨中逐渐厘清了零点存在性定理在判定零点是否存在以及零点存在个数问题时的作用及“缺陷”，并对此达成共识，同时在头脑中形成了图形影像.接下来，教师将通过课堂练习引导学生对知识进行巩固，此处不再赘述.

基于概念学习的课前“教学环”导读提纲设计，使得学生课前预习中的数学知识学习过程成为自己阅读、发现并通过练习自行掌握相关概念的过程，这就为学生在课堂上深入理解数学知识奠定了坚实的基础.在本课学习中，学生通过阅读、设计实验方案和实施实验来获得抽象数学概念、原理所需要的现实材料，并在此基础上展开归纳、类比、抽象、概括，从相关的数学活动中抽取共性而获得数学概念、发现数学规律、获得数学原理和性质，进而获得解决问题的方法.“反思总结”需针对知识本身以及知识习得的过程与方法展开，这里不再赘述.

三、课后练习作业与下一个“教学环”的构建

教师用好课堂上的经典练习题，对其进行有目的的改编，以课后作业的方式呈现给学生，有利于学生及时运用所学新知，通过观察、对比，对新问题进行拆解和思考，为下一节课“教学环”的螺旋式前进做足准备.同样的，课后作业还包含了对下一节课的课堂规划.

在本課中，学生通过辨析，理解了函数零点的概念；能够利用零点存在性定理判定所在区间是否存在函数零点；对零点存在性定理的“缺陷”进行反思，体会到了“等价转换”和“数形结合”思想在解题中的应用.在下节课中，学生对零点概念的理解将达到形式性理解水平：作为概念理解的第三个层次，它需要学生在数学概念术语、符号和数学思想之间建立起联系，对问题进行阐述和求解，进而深刻理解概念的内涵和外延，这将是一种“认识飞跃”.为此，我们设计了如下课后练习作业（如图6），为运用二分法求方程的根构建了下一个“教学环”的导读任务.

与传统的概念课教学相比，“教学环”理念下的新知概念课教学，让学生在提问讨论、重点讲解、应用探究、反思总结等课堂环节有了更多参与基础和机会，课堂成为师生之间、生生之间思想交锋的“战场”，学生在“交战”中不断加深对概念的理解，不断丰富和重构概念的内涵与外延，边理解边内化.这样的课型，对教师把控课堂的能力要求较高，教师在初始阶段不可操之过急，需根据学情，设计出适当的教学活动，在“教学环”理念下不断提高学生自主学习的意识和探究学习的能力，让课堂真正成为学生自己的课堂.（题图为于成宽老师在辅导学生）

（责编 白聪敏）