新角度下理解曲线以及曲面积分的对称性

2018-08-17 09:35于亚萍
数学学习与研究 2018年12期
关键词:积分奇偶性对称性

于亚萍

【摘要】对于对称性的理解,简单情况如奇、偶函数的对称性,一元函数积分的对称性等对于初学者问题不大,但是到了曲线积分,尤其是曲面积分中,因为对称涉及积分区域的对称以及被积函数的对称,两方面都要考虑,情况较为复杂,所以本文提出了一种将连续函数离散化的方法,从离散的角度来理解对称性.

【关键词】对称性;离散化;积分;奇偶性

对称是一种美,而且这种美在数学中无处不在,贯穿数学中的各个分支.很多图形是对称的,比如,心形线等等,很多函数是对称的,比如,奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称,当然,积分中也不会缺少对称这个完美的性质.利用对称性可以简化计算,提高运算速度和效率,避免出错,有着非常重要的作用.但是在高等数学的教学中,曲面积分对称性也是一个难点,所以为了帮助理解,我们要将连续函数离散化.

离散化方法是在分析中经常用的方法之一,意思即是将连续的问题化为离散的点来考虑.

在离散化之前,我们需要做一些合理的假设.众所周知,点是没有长度、面积和体积的,但是为了描述方便,为了直观地理解对称性,不妨将其理想化,假定点是有面积、体积且是均匀量,并记点的长度为l*,点的面积为s*,点的体积为v*.

下面从离散化角度来看积分:

对于第一类曲线积分,由定义得:

∫lf(x,y)ds=limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δsi=li∑(x,y)∈lf(x,y).

若积分曲线关于x轴对称,x轴上方的曲线记作L1,x轴下方的曲线记作L2,任取L1上的点(x,y),就有L2上的点(x,-y)相对应,若f(x,-y)=f(x,y),则

∫lf(x,y)ds=li∑(x,y)∈lf(x,y)

=2li∑(x,y)∈L1f(x,y)=2∫L 1f(x,y)ds.

若f(x,-y)=-f(x,y),则

∫lf(x,y)ds=li∑(x,y)∈lf(x,y)

=li∑(x,y)∈L1f(x,y)+li∑(x,y)∈L2f(x,y)=0,

即如果积分曲线关于x(y)轴对称,被积函数关于变量有奇偶性,则“偶倍奇零”.

对于第一类曲面积分,由定义得:

Σf(x,y,z)ds=limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi,ζi)Δsi

=s*∑(x,y,z)∈Σf(x,y,z).

此时,若积分曲面关于xOy面对称,记xOy面上方的曲面为Σ1,xOy面下方的曲面为Σ2,任取Σ1上的点(x,y,z),必有Σ2中的点(x,y,-z)与之对应,如果被积函数有:f(x,y,z)=f(x,y,-z),

则有

Σf(x,y,z)ds=s*∑(x,y,z)∈Σf(x,y,z)

=s*∑(x,y,z)∈Σ1f(x,y,z)+s*∑(x,y,z)∈Σ2f(x,y,z)

=2s*∑(x,y,z)∈Σ1f(x,y,z)=2Σ1f(x,y,z)ds.

如果被积函数有:f(x,y,z)=-f(x,y,-z),则有

关于其他坐标面对称情况类似,综上,即有:如果积分曲面关于某个坐标面对称,被积函数关于第三个变量具有奇偶性,则适用对称性,即“偶零奇倍”.

综上,可以很容易理解为何要求积分区域具有对称性的同时,还要要求被积函数具有对称性,也很易理解对称性.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]凌明伟.对称法求积分[J].高等数学研究,2003(1):35-38.

[3]林源渠,等.高等數学复习指导与典型例题分析[M].北京:机械工业出版社,2002.

[4]陈增政,徐进明.利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J].工科数学,1994(4):181-184.

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