正则FI-代数的刻画及成为Boole代数的条件

凌雪岷，徐罗山，杨凌云

LING Xuemin1,XU Luoshan2,YANG Lingyun3

1.安徽新华学院 通识教育部，合肥 230011

2.扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002

3.江苏师范大学 数学与统计学院，江苏 徐州 221116

1.Department of Common Education,Anhui Xinhua University,Hefei 230011,China

2.College of Mathematical Science,Yangzhou University,Yangzhou,Jiangsu 225002,China

3.School of Mathematics and Statistics,Jiangsu Normal University,Xuzhou,Jiangsu 221116,China

1 引言

为给逻辑推理提供各种可能的逻辑体系，许多学者陆续提出了各种型和形不同的代数系统，每一种代数系统对应着不同的公理组[1-2]。王国俊教授提出的与形式逻辑系统L*相匹配的R0-代数[3-4]，吴望名教授提出的FI-代数[5]，吴洪博教授提出的WBR0-代数[6]（又称弱基础R0-代数）等都是这一领域重要的代数系统。许多学者给出了它们的多种刻画[7-10]和相互关系[9-12]并取得了许多好的成果[12-16]。在这些研究基础上，本文首先对正则FI-代数进行再研究，给出了正则FI-代数的两个公理组条件更少的刻画定理。然后在正则FI-代数中引入蕴涵分配性，讨论蕴涵分配正则FI-代数的若干性质，证明蕴涵分配正则FI-代数与Boole代数是相互等价的代数系统。

下面给出FI-代数的基本概念和相关结果。

定义1[5]一个(2,0)型代数(X,→,0)称为Fuzzy蕴涵代数，简称FI-代数，若∀x,y,z∈X，有：

（I1）x→(y→z)=y→(x→z)；

（I2）(x→y)→[(y→z)→(x→z)]=1；

（I3）x→x=1；

（I4）若x→y=y→x=1，则x=y；

（I5）0→x=1,其中1=0→0。

称满足（I6）：∀x∈X,(x→0)→0=x的FI-代数为正则FI-代数。

引理1[6]在正则FI-代数(X,→,0)中，∀x,y,z∈X，有以下结论：

（1）x→y=(y→0)→(x→0)；

（2）(y→z)→((x→y)→(x→z))=1。

2 正则FI-代数的等价刻画定理

本章根据正则FI-代数的公理组内在联系，给出正则FI-代数的两个公理组条件更少的等价刻画定理。

命题1在正则FI-代数(X,→,0)中，对每一x∈X有1→x=x。

证明 由（I5）、（I6）和引理1（1）知：

1→x=(0→0)→((x→0)→0)=(x→0)→0=x

定义2一个(2,0)型代数(X,→,0)称为正则NFI-代数。如果∀x,y,z∈X有：

（N1）(x→y)→((y→z)→(x→z))=1；（N2）x→y=(y→0)→(x→0)；

（N3）若x→y=y→x=1，则x=y；

（N4）1→x=x；

（N5）0→x=1,其中1=0→0。

命题2每个正则FI-代数都是正则NFI-代数。

证明 由定义1知（I2）即为（N1），引理1（1）即为（N2），（I4）即为（N3），命题1即为（N4），（I5）即为（N5）。

命题3在正则NFI-代数X中，∀x,y,z∈X有：

（1）x→x=1；

（2）x→1=1；

（3）(x→0)→0=x；

（4）x→(y→z)=y→(x→z)；

（5）x→(y→x)=1。

证明（1）由（N1）和（N4）知：

（2）由（N2）、（N4）和（N5）知：