详辩几何概型中角度与长度两种测度

张宏斌��

摘 要：几何概型中关于角度与长度两种测度的选择是学生不容易掌握的，主要是由于没看清考查对象、没抓住几何概型特性中“每个结果发生的可能性相等”这个本质要求造成的。教学中要强调考查对象，引导学生理解几何概型基本事件等可能出现的特性加以区别，多举实例，防范出错。

关键词：几何概型；等可能性；角度与长度两种测度

几何概型是高中阶段比较重要的概率类型，通常学生掌握较好。但在涉及到底用长度还是角度作为测度时，不少同学分辨不清，好像两种都有理由都说得过去。出现这种情况，是由于没看清考查对象、没抓住几何概型特性中“每个结果发生的可能性相等”这个本质要求造成的。几何概型的基本特征：（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.

下面几题是学生做题时混淆、易错的典型例子，现分析说明。

例1：在等腰直角三角形ABC中，

（1）过直角顶点C作一条射线CM，与边AB交于点M，求AM

（2）在边CB上取一点M，求∠CAM<30°的概率。

解：（1）错解：设AC=BC=a，则AB=2a，在AB上截取AC′=AC，于是P（AM

以上错解中都有哪些错误？出错的原因是什么？如何防范？

本题错误解答是由于没看清考查对象、没抓住几何概型特性中“每个结果发生的可能性相等”这个本质要求。结果把角度问题错误地转化成了线段长度问题。

首先，不少同学因为要求AM

正解：在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=180°-45°2=67.5°，

设A={在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM

则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°。

所以P（A）=67.590=34。

此题切不可将∠CAM作为考察对象，是由点M的运动才造成角的变化，点M等可能的分布在线段CB上，所以应将长度作为测度。……