浅谈中学数列中的探索性问题

杨光

【摘要】本文采用了文献分析法、实例分析法，分析了知果索因数列和结论数列中的探索性问题，旨在为中学数列探索性问题研究提供有效参考.

【关键词】中学；数列；探索

一、知果索因数列探索性问题分析

（一）解题思路以及注意事项

解答知果索因数列探索性问题的思路是先根据结论进行逆向推导.假设结论成立，一步步进行计算、分析，由结果推导条件进行论证，最后论证结论成立.在解答这类数列问题时，需要注意三点：一是全面考虑数列结论成立的充分条件，避免重复运算，或漏算、误算.有些数列探索性问题会出现多余条件，是为了迷惑我们解题，但是这种情况并不多见，一般出题教师不会加入多余条件.在判断数列探索性问题条件是否多余时，应根据该题所证结论，或者所求条件确定已知条件是否多余，不能凭空下结论；二是根据实际情况解答数列问题，在推理时理清必要条件和充分条件，避免二者混淆；三是注意知果索因数列问题所求的一般是问题的充分条件，求充要条件的并不多见.因这类数列问题需要运用联想力、观察力和逻辑思维能力，所以应重点培养.

（二）实例分析

已知正项数列{an}满足Tn+Tn-1=Ka2n+2（n≥2，K>0），其中a1=1，Tn是{an}的前n项和.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）如果Sn=1anan+1，那么求出K的取值范圍，使其对所有Sn<2，n∈N*恒成立.

解 （1）因为a1=1，Tn+Tn-1=Ka2n+2，所以a2=Ka22.

因为n≥2，K>0，所以a2不可能为0，所以a2=1K.

因为Tn+Tn-1=Ka2n+2，①

所以Tn-1+Tn-2=Ka2n-1+2（n≥3）.②

①-②得an+an-1=K（a2n-a2n-1）.③

将③进行因式分解可得：

（an+an-1）[1-K（an-an-1）]=0.④

因数列{an}属于正项数列，

所以an>0，所以an+an-1>0，

所以an-an-1=1K（n≥3）.⑤

由⑤可知{an}从第二项开始是……