对数学归纳法的改进

龚远华

【摘 要】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在近年的高考试题中，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—-归纳—-猜想—-证明”的思维模式，就显得特别重要。在运用归纳法步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系，但是“凑”结论这个过程往往需要一些技巧，变形难度较大，也没具体固定的方法，这里对步骤②略作改进使其形成通法，以回避拼凑结论这个过程。

【关键词】 数学归纳法；改进

一、数学归纳法的概念

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从nn开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可。特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。……