高中数学竞赛不等式应用研究

周莹

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0126-01

不等式作为高中的一部分内容，解法灵活多变，从中可以体现出多种数学思想方法，本文便是从高中数学竞赛不等式解法入手，研究从中可以体现出的数学思想方法都有哪些。

1.不等式与多变量函数极值问题

所谓多变量函数，即是一个函数中有多个变量。而不等式与多变量函数极值问题是在变量或变动因素较多时求取函数的最值。这些变量同时变化，相互制约又彼此独立，相互干扰间常常让同学们无从着手，漫无头绪。其实，就是如此多的变量扰乱了我们的思路，不知该如何是好。所以，我们可以让大多数变量固定，只让少数变量运动，以此来搞清楚各变量之间的数量关系和制约依赖关系，然后让刚刚固定的变量“活”起来，却固定住刚才动着的变量，最终达到解决此类问题的目的。这种方法有个统一的名字，叫控制变量法。

1.1构造二次函数法

如果有一个多变量不等式是二次函数，而且还是齐次的， 那么我们就可以构造出一个只关于其中一个变量的二次函数， 然后再利用二次函数的单调性求其最值或者利用二次函数的图像来分析问题，从而使问题得到解决。其实质是将多变量问题转化为单变量问题求解。

例：设a，b，c为任意三角形的三个内角，对于任意实数L，M，N，求证：L2+M2+N2≥2LMcosa+2MNcosb+2NLcosc

分析： 根据题意， 首先将特征式整理成关于L的二次函数形式， 再利用二次函数及其方程的有关性质进行推理证明。

证明……