阻力线性化条件下纵向离散系数的半解析解法

张文俊 胡煜 任华堂 夏建新

摘要：纵向离散系数是水质模型的关健参数，对于污染物的影响范围具有决定性影响，一直是环境水力学的研究热点。目前纵向离散系数的确定以经验、半经验方法为主，物理机制不够明确。基于底部阻力局部线性化假定，利用幂级数求解断面流速分布，代入Fischer纵向离散系数积分公式，建立了纵向离散系数的半解析方法。利用100余条天然河流数据进行验证，结果表明计算值为实测值的0.3～3.0倍，精度符合工程要求。该方法推导严密、计算量较小，一定程度上反映了离散的物理机制，与前人计算公式的误差在同一量级，具有一定的可靠性。

关键词：纵向离散系数；阻力线性化；幂级数；流速分布；半解析解；环境水力学

中图分类号：TV133 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.05.016

1 引言

在水环境模拟预测中，准确预测污染水团的形状对于污染物影响历时和影响范围的确定具有重要意义。对于天然河流而言，由于流速分布不均匀，因此污染水团形态主要取决于河流的离散特性。河流纵向离散系数历来是河流水质模型研究的热点。

离散的本质是流速不均匀导致物质在断面上出现的分散，不同的断面流速分布形式决定了不同的离散特性。1954年Taylor基于管流中层流流速分布表达式，根据径向扩散和纵向离散平衡得到圆管中离散系数计算公式；1959年Elder根据流速的垂向对数分布规律，忽略流速的横向差异，采用垂向扩散和纵向离散平衡导出宽矩形明槽中纵向离散系数关系式；Fischer等由横向扩散和纵向离散平衡得到纵向离散系数求解的Fischer积分公式，但该公式需要给定流速分布，由于明渠流速断面分布尚无成熟可靠的公式可用，因此Fischer利用试验数据得到离散系数的Fis-cher经验公式。目前，天然河流中纵向离散系数求解的方法主要有以下几类：①通过示踪试验直接测定离散系数或由实测数据回归得到经验公式，如张江山对福建闽江干流进行示踪试验测定其纵向离散系数，吕巍等实测了黄河潼关河段当时水文条件下纵向离散系数，黄爱珠通过示踪试验确定了桂江下游梧州段纵向离散系数，Sahay等、Seo等、Kashefipour等和Disley等则各自依据天然河流数据回归分析得出纵向离散系数经验关系式；②利用流速实测值或流速分布经验公式和Fischer积分公式进行求解，如李锦秀等根据三峡库区段流速分布监测数据总结出三峡库区内纵向离散系数预测公式，刘震等通过黄河下游干流水文监测数据多元回归分析得出黄河下游干流河段污染物纵向离散系数经验估算公式；③基于若干假定求解流速分布，再代入Fischer积分公式进行求解，如Deng等利用谢才公式假定抛物线型断面流速分布，陈永灿等应用数理回归方法确定梯形断面纵向流速分布，Wang等采用矩形断面河流控制方程将流速表示为傅里叶级数形式，张文俊等利用均匀恒定流控制方程，先求解幂级数形式流速分布，然后代入Fischer积分公式推导出纵向离散系数公式。上述纵向离散系数求解方法中针对非特定河流的计算公式，可分为两类（代表性公式见表1），通过试验测定纵向离散系数或流速分布耗时费力，而经验公式则主要采用回归分析得到，其物理意义不明确，在流速分布理论求解中部分参数的确定较为困难。

笔者根据矩形明渠恒定流控制方程，引入底部阻力线性化假定，得到流速分布的幂级数解表达式，代入Fischer积分公式，建立纵向离散系数半解析计算公式，并将其推广至天然河流，以期为天然河流纵向离散系数的取值提供参考。

2 矩形明渠流速分布的幂级数解及离散系数求解

2.1 流速分布求解

均匀恒定流明渠矩形断面如图1所示，流速分布取决于表面压强梯度力、底部摩阻力和雷诺应力的横向梯度，满足如下动力学方程：式中：H为水深；τbx为底部摩擦力；ρ为水的密度；Am为紊动涡黏系数；J为水力坡度；g为重力加速度；u为流速。

目前，底部阻力与流速的关系多采用半经验的线性或非线性关系，由于線性关系在数学上较为简单、方便求解，因此对底部摩擦力采用局部线性化假定，即τbx=-ρβu，则有式中：β为线性阻力系数，与平均流速U成正比，即β=αU。

对河宽进行归一化处理，令y'=2y/B，则上式简化为

将流速表示为幂级数形式，代入上式，基于等号两[-1，1]内绝对收敛。该幂级数公式即为矩形断面纵向流速u的解。

根据式（5），利用条件u|y'=0=umax和u|y'=±1=0，便可计算出幂级数的各项系数。在实际求解中，一般取6～10项即可，对于宽深比较大的河流，所取项数可相应增加。

为了分析流速幂级数解的合理性和准确性，分别对人为设定的理想工况和天然河流流速分布进行计算：①水深H=1.0 m，宽度分别为10、50、100、150、200m，Am=1.0m2/s，β=0.001m/s，J=0.00075，流速分布计算结果如图2所示，由图2可见，在深度一定的条件下，随着河宽的增加，水流受岸边摩擦力的影响减弱，流速分布更加趋于均匀，与水流的运动规律基本一致，说明所得幂级数解是合理的；②根据Bogle关于美国Old河断面形态的研究，将其概化为以水面宽度为宽、平均水深为高的矩形断面，分别采用底部阻力非线性化和底部阻力线性化方法计算其流速分布，结果如图3所示，底部阻力线性化计算结果与天然河流流速分布具有较好的一致性，充分说明了采用底部阻力线性化假定及得到的级数解能够描述天然河流的流速分布。

2.2 矩形断面纵向离散系数计算

将断面纵向流速的横向分布代入Fischer积分公式：为幂函数，因此将其代入上式，可得

由上式可知，流速幂级数中，幂次越低的项对于三重积分I的贡献越大，幂次愈高的项贡献愈小。一般而言，宽深比越大所需要的项数越多。在离散系数的计算中，可以根据精度需要选择合适的项数求解。

3 天然河流纵向离散系数计算

3.1 矩形明渠纵向离散系数在天然河流中的推广应用案例

由于在工程中无法获得河流每一个断面的详细资料，一般仅有水面宽度和过水断面面积资料，因此将其概化为矩形断面可以有效保证平均水深、水面宽度和过水断面面积的一致性。将纵向离散系数求解公式（8）推广到天然河流中，参数按照如下方式确定：B取天然河流的水面宽度，h取天然河流的平均水深，线性阻力系数β=0.8（u*/U）2U，涡黏系数Am=1.50hu*，底坡J=u2/gh，横向扩散系数AH=0.15hu*。

利用Zeng等收集的100余条河流资料进行验证，将这些河流的平均河宽、平均水深、平均流速、摩阻流速等代入式（5）、式（8）、式（9），并计算纵向离散系数。

3.2 结果与讨论

为分析上述计算方法预测结果的精度，采用对数比偏差DR、对数平均绝对误差ME、对数均方根RMS进行评价，定义如下：式中： DLm为河流纵向离散系数实测值；DLp为河流纵向离散系数预测值；N为样本河流数量。

对数比偏差DR反映了计算值与实测值的吻合程度，二者之比越接近1，DR越接近0，当DR为-0.3～0.3时，计算值约为实测值的0.5～2.0倍；对数平均绝对误差ME反映预测值与实测值的整体偏离情况，对数均方根RMS反映预测值与实测值的离散情况，ME和RMS越接近0，说明预测值与实测值越接近，预测效果越好。

纵向离散系数计算值DLP与天然河流实测值DLm对比见图4，可以看出计算值与实测值有一定的偏差，但二者的整体变化趋势具有较好的一致性。

3.3 计算误差分析

上述半解析计算公式计算结果与由Fischer积分公式导出的其他公式（见表1）计算结果进行对比可知：Deng公式计算结果的DR值有54%在[-0.3，0.3]范围内，97%的计算结果介于实测值的0.1～10倍，预测结果较好；而Wang（1）公式计算结果的DR值仅有2%在[-0.3，0.3]之间，66%的预测结果为实测值的1/10以下，该公式预测结果整体偏小；半解析计算公式对样本河流中纵向离散系数预测结果为实测值的0.5～2倍的比例为31%，预测结果的DR值有95%在[-1，1]范围内，与底部阻力非线性化、Fischer经验公式计算结果在同一水平，基本满足工程需要。

半解析计算公式计算结果的对数平均绝对误差ME为0.49（见表2），即计算值与实测值之比都在0.3～3.0之间，与前人计算公式误差水平在同一个量级，误差水平基本可接受。

3.4 求解方法讨论

Fischer积分公式给出了横向流速分布和纵向离散系数的关系，通过流速分布的合理假定或理论求解是一系列纵向离散系数计算的通行方法，该类方法与经验公式相比物理意义更清晰，比用流速实测资料求解纵向离散系数更具有普适性和可行性。

在利用Fischer积分公式求解纵向离散系数时，流速分布形式不同导致结果存在差异。Fischer限于当时对流速横向分布的认知，在简化计算三重积分时取相对粗略的试验经验常数值。Deng公式利用抛物线型断面流速分布特性，由谢才公式得到流速分布，代入Fischer积分公式求解，因经验性谢才公式对明渠水流运动的适用性，故其計算结果较好，但由于谢才公式为经验公式，因此该方法不易在理论方面进一步改进和发展。 Seo公式和Wang公式分别采用β函数和傅里叶级数假定流速分布，进行积分并求解纵向离散系数，由于傅立叶级数中的各项系数求解困难、计算过程极为复杂，因此Wang公式最终仍然通过回归分析处理为经验公式，而相似的β函数也因其计算繁杂而难以推广应用。

张文俊公式与本文提出的半解析计算公式类似，采用均匀恒定流控制方程及幂级数流速分布求解纵向离散系数，但底部阻力采用的是非线性化形式，导致幂级数中各项系数计算公式为复杂非线性函数，各项系数的确定计算量大，且幂级数收敛条件不易精确确定。

本文提出的半解析计算公式则对底部阻力采用线性化表达式，流速分布幂级数中各项系数呈现简单的线性关系，易于确定，同时幂级数在河宽范围内绝对收敛，只需通过增加项数即可控制求解的精度，由于幂级数积分的简易性，因此运算较为方便，具有一定的优势。

4 结语

从均匀恒定流条件下矩形明渠出发，对底部阻力采用局部线性化假定，得到断面流速分布的幂级数解，与天然河流中流速实测资料对比，显示该方法有效反映了实际河流的流速横向分布特性。

基于Fischer纵向离散系数理论公式，利用幂级数形式流速分布得到纵向离散系数求解公式，并给出了天然河流离散系数的计算方法。与天然河流实测值对比分析表明，本方法计算值与实测值变化趋势一致，计算值为实测值的0.3～3.0倍，与前人计算公式的误差在同一量级，具有一定的可靠性。