五阶群唯一性证明

刘英伟　张洋

摘 要：证明五阶群的唯一性.运用群的定义以及群乘法表的重排规律，简单明了、逻辑严密地推导了五阶群的完整乘法表，证明五阶群的唯一性，证明五阶群是对易群，即阿贝尔群.

关键词：群论；五阶群；乘法表

[中图分类号]O152 [文献标志码]A

Abstract：By the group definition and the rule of rearrangment of group multiplication table， the multiplication table of the five order group is deduced plainly and logically. It is proved that the five order group is unique and commutative.So the five order group is Abel group also.

Key words：group theory； five order group； multiplication table

群论是近代数学的一个分支，由19世法国天才数学家伽罗华创建.[1]它的出现对后世数学及其他学科的发展产生了巨大的影响，其重要程度不亚于物理学领域的傅里叶变换[2-3]，在物理、化学、计算机、机械、建筑、美术等领域得到广泛应用.[4]群就是一些按一定乘法规则联系起来的元素组成的一个集合.群元素之间的关系，是群的灵魂.元素间通过一定的乘法关系建立联系，这种联系可以用乘法表表示出来.对于4阶群，有两种乘法表[4]，即群不是唯一的.而5阶群则只有一种乘法表，因而是唯一的.关于5阶群的唯一性，有关教科书或文献都没有给出证明，本文根据群论的一般规则，通过简单明了的方式证明五阶群的唯一性，并给出群的完整乘法表，证明五阶群是可对易的，即为阿贝尔群.

1 群的基本概念

如果一个集合G={e，a，b，c…}中的元素满足下面四个条件，那么这个集合就是一个群：

（1）集合中任意两个元素的乘积必为群内另一元素，如 ab=c；

（2）元素之间乘法满足结合律 （ab）c= a（bc）；

（3）在集合中存在单位元素e，它和群内其他任意元素的乘积仍得到元素本身，即ea=a，eb=b，ec=c；

（4）集合中任意元素a，必定存在一个逆元a-1，使得aa-1= a-1a =e.

满足以上四个条件的集合就称……