“再导一遍”破解不等式恒成立求参数取值难点问题*

广东省广州市广东广雅中学(510160) 徐广华

在近几年全国各地的高考试题和模拟试题中,函数、导数与不等式的综合问题一直倍受命题者的青睐,经常扮演压轴题的角色.其中,不等式恒成立问题是函数与导数综合考查的重点和热点内容.不等式恒成立问题,主要有两种类型:一是已知不等式恒成立,求参数的取值范围;二是证明不等式恒成立.本文重点研究第一种类型中的难点问题.

已知不等式恒成立,求参数的取值范围,一般有两种基本方法:一是“参数分离法”,即将参数分离到不等式的一边,化为形如k＞g(x)(或k＜g(x))对任意x∈D恒成立,若g(x)在区间D内存在最大值(或最小值),则问题等价转化为k＞g(x)max(或k＜g(x)min)(口诀:“大于大的,小于小的”);二是“移项构造函数法”,即f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))对任意x∈D恒成立⇔F(x)=f(x)−g(x)＞0(或F(x)＜0)对任意x∈D恒成立,若F(x)在区间D内存在最小值(或最大值),则问题等价转化F(x)min＞0(或F(x)max＜0).

一般而言,以上两种基本方法中,“移项构造函数法”是通法,具有普遍性,但在求F(x)的最值时由于含有参数,因此往往要分类讨论,比较麻烦;而“参数分离法”往往比较简单,原因是g(x)不含参数,因此在解题时一般优先考虑这种方法.但在实际操作中,我们也常常碰到这种情况:分离参数后,求g(x)的最值时,对g(x)求导后,发现方程g′(x)=0的根没法具体地求出来,往往就此陷入困境,这说明“参数分离法”并非万能,也有其局限性!全国卷高考函数导数的压轴题,大多属于这种类型.

笔者经过研究,发现解决这类难点问题有其“秘笈”,本文举例分析说明……