“等周问题”重归高考—详解2018年高考全国I卷理科12题

广东省广州市花都区秀全中学(510800) 李桃

在周长给定并满足某些条件的所有区域中,找出面积最大的区域,这类最值问题称之为等周问题.

题目1(2006年高考全国I卷理科第11题)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棒围成一个三角形 (允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()

分析本题中的5根细木棒“允许连接,但不允许折断”,显然,它们围成的三角形有许多.但,这里隐含着一个重要信息:这些三角形有一个共同的周长20 cm.

题目2(2013年高考全国I卷理科第12题)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,···,若b1＞c1,b1+c1=2a1,an+1=an,,则( )

A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列

C.{S2n−1}为递增数列,{S2n}为递减数列

D.{S2n−1}为递减数列,{S2n}为递增数列

分析因为an+1=an,所以数列{an}是常数列,即△AnBnCn的一边是固定不变的.其余两边bn+1+cn+1=,又已知b+c=2a,111可得bn+cn=2a1.那么△AnBnCn的一边是固定的,其余两边的和是定值,即△AnBnCn的周长是定值.

上述两道相隔7年的高考试题具有相同的特征:三角形的周长是定值,探究面积大小,同为“等周问题”.时隔5年,“等周问题”重归全国高考.

题目3(2018年全国I卷理科12题)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截_面面积的最大值为( )

分析根据正方体的结构特征,可将所有棱与平面α的线面角问题,转化为共顶点的三条棱的线面角问题.再根据线面角的定义,先找出一个符合题意的截面.图1中的截面B1CD1即可.将平面B1CD1平移,若向点C1方向平移,截面是三角形且面积越来越小,若向点A方向平移,截面先是六边形,当平面经过……