2018年全国I卷理科数学第19题溯源与探究

广东省华南师范大学附属中学汕尾学校(516600) 刘光明

2018年全国1卷理科数学第19题解析几何试题虽说平淡但却蕴含着知识的本质,经过试题的多解与拓展,从椭圆特殊情况到横纵向的探究,发现对于一般的二次曲线同样具有相似性质,并且它们的逆命题也是成立的.本文试图通过8个结论的推理论证和阐述,挖掘其中的通性通法,最后因探究而引发了数学核心素养背景下圆锥曲线的一些教学思考.

1 试题呈现与多解

方法2(同一法):根据椭圆的对称性,要证∠OMA=∠OMB,只需要证点A关于x轴的对称点A′′在直线MB上即可,因此只需证明直线MA′′与直线AF的交点B在椭圆上即可.不妨设A(x0,y0)为第一象限点,则点A关于x轴的对称点A′′(x0,−y0),直线AF的方程为

图1

评析试题在给定椭圆方程的基础上,研究过焦点的直线与椭圆的位置关系,通过定点M、直线与椭圆的交点,两者建立关系,即可通过解析法将等角的几何性质转化为代数方程,也可以通过三角相似解决与椭圆有关的几何问题,为不同基础和能力的考生搭建思维平台,也使解析几何的思想方法在解答过程中得以展示.试题通过直线和椭圆的几何性质建立几何元素之间的关系,营造数形结合的环境.

2 试题背景溯源

历年来,全国卷的解析几何问题都牵动着一线数学教师的心,也是最容易受到狂热挖掘的素材之一.2018年全国1卷文理解析几何虽题目的呈现的曲线不同,但考查的核心知识点一致,细细查找不难发现其根源……