三角形内角平分线性质定理在高考中的简单运用

云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

三角形内角平分线性质定理,文字表述简洁,符号表述优美,这个十分有趣、看起来很平凡的性质,有着广泛的用途.不知出于何种原因,不知从何时起,在现行教材中消失了,已踪影全无.对于以三角形内角平分线为条件的题目,用代数方法求解往往会比较复杂,而巧妙利用三角形内角平分线性质定理,能使计算简化、思路简捷,下面举例说明.本文也旨在温馨提醒同仁和同学加强此性质的运用意识.

下面我们先看三角形内角平分线性质定理.

定理三角形内角平分线分对边所得的两条线段与这个三角形的两边对应成比例.

如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD交BC于D,则

图1

图2

证明过点B作BE//AC,交AD的延长线于E,如图 2.因为 ∠CAD= ∠BED,又 ∠BAD= ∠CAD,所以∠BAD=∠BED,故AB=BE.因为△ADC∽△EDB,所以,即,从而.

1 简求圆锥曲线的焦半径的值

例1[2](2011年高考全国II卷理科第15题(文科16))已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,则|AF2|=____.

简解根据双曲线的方程知,F1(−6,0),F2(6,0),|MF1|=8,|MF2|=4,再根据三角形内角平分线性质定理得,所以,|AF1|=2|AF2|,点A在双曲线的右支上,|AF1|−|AF2|=6,所以,|AF2|=6.

评注(1)想到三角形的内角平分线性质定理,是破解此题的一个关键.(2)此题若用解析几何的方法来解答,则难上加难,几乎解不出来.

2 简求向量的表达式

3 简求三角函数值的比值

4 简求角平分线所在的直线方程

例4[2](2010年高考安徽卷文科第17题)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率.

(I)求椭圆E的方程;

(II)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程.

简解(I)解略,椭圆E的方程为

(II)由(I)知……