对一道高考模拟题的分析与思考

广东省广州市第六十六中学(510460) 王松岳

2018年广州一模测试题中的理科数学第20题代表近年来圆锥曲线问题的热点,值得去认真思考,并挖掘其中的来源.

一、原题再现

解读上面的解题过程,发现由一个定点T(4,0)出发的一组动直线,经过对称变换后,回归于定点G(1,0),估计这不是一个特例,猜想对于x轴任意一点都应该成立.

二、由特殊到一般

图1

三、把结论推广到其它圆锥曲线

对于抛物线也有类似的结论:

结论3过点T(n,0)(n̸=0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p＞0)相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),点A′(x1,−y1)与点A(x1,y1)关于x轴对称,则直线A′B恒过定点(−n,0).当n＞0时,应排除斜率不存在与斜率为零的直线.

四、追根溯源,命题背景分析

本题的命题背景来自于圆锥曲线的极点与极线.极点与极线问题是近年来高考的热点问题,此类问题越来越多出现在高考卷中,可以说已经成为高考解析几何大题的命题“新宠”.虽然不能够直接套用极点与极线的相关结论用于解答,但教师如果能够了解掌握相关理论,从更高的角度看对问题,对教学是有很大帮助的.下面给出极点与极线的定义,定理及相关性质.

定义1设两点P,Q的连线与圆锥曲线C相交于M1,M2,如果M1,M2被P,Q调和分割(即=−1,这里的线段均为有向线段),则称P,Q关于圆锥曲线C成调和共轭.

定义2如图2,P是不在圆锥曲线上的点,过P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点,则过点P的切线即为极线.

定义3如图3,(极线方程公式)已知圆锥曲线C:Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0,则点P(x0,y0)与……