空间解析几何上线性方程组的应用

2018-09-15 08:56吕晓蝶陈滔
科教导刊·电子版 2018年23期
关键词:解析几何线性方程组例题

吕晓蝶 陈滔

摘 要 线性代数主要是对线性方程组进行研究,在生活实践中,线性方程组广泛的应用于各个领域,如经济学、物理学等,本文通过典型例题详细介绍了线性方程组在空间解析几何上的应用。

關键词 线性方程组 解析几何 例题

中图分类号:O151.26 文献标识码:A

例1:判断直线,与的位置关系。

解:将这两个直线方程合并成一个线性方程组即:

其增广矩阵是

在对该增广矩阵施行初等行变换

则系数矩阵的秩,增广矩阵的秩,所以就有,故这两条直线是异面直线。

例2:讨论下列三个平面的位置关系:

其中是参数。

解:这三个平面是否有公共交点,取决于下面的方程组是否有解:

(1)

计算线性方程组的行列式。所以就有,若且,则该线性方程组有唯一解。所以,三平面有唯一的公共交点,且交点可以对式(1)用克莱姆法则求得。

若,对式(1)的增广矩阵施行初等行变换即:

因此,当时,式(1)无解;

当时,式(1)有解,从而三平面有公共交点;

当时,对(1)的增广矩阵施行初等行变换:

由最后一个矩阵的第二行可知,式(1)无解,所以,三平面无公共点。

当,时,根据式(2)不难求出式(2)的通解即:

,是任意实数。

因此,这三个平面的交线是过点(2,0,2),以(1,-1,0)是方向向量的直线。

综上归纳以上讨论得:

且时,三平面相交于一点;

或且时无公共交点;

且时三平面相交于一条直线。

参考文献

[1] 涂道新,张光裕.线性代数[M].高等教育出版社,2008.

[2] 陈东升.线性代数与空间解析几何及其应用[M].高等教育出版社,2010.

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